Añadir un real con condiciones infinitas

Question

Considere el forzamiento $\Bbb P$ cuyas condiciones son funciones parciales $p\colon\omega\to2$ avec $\operatorname{dom}(p)$ un subconjunto co-infinito de $\omega$ ordenados por inclusión inversa.

Hace $\Bbb P$ ¿colapsar el continuo?

Answer 1

Mientras que el forzamiento de Prikry-Silver satisface el axioma A y, por tanto, no colapsa $\omega_{1}$ es independiente de $MA + \neg CH$ si el forzamiento de Prikry-Silver preserva el continuo. En $MA + \neg CH$ Esta pregunta es equivalente a si la aditividad del ideal de Plata es el continuo. Así, por ejemplo, PFA implica que el forzamiento de Prikry-Silver preserva efectivamente el continuo. Para la pregunta correspondiente para el forzamiento de Sacks, véase:

H. Judah, A. W. Miller y S. Shelah, El forzamiento de Sacks, el forzamiento de Laver y el axioma de Martin. Arch. Math. Logic 31 (1992), 145-161.

Answer 2

Este es el forzamiento para añadir un Prikry-Silver real, discutido en página 17 del libro de Jech Forzamiento múltiple . Un argumento de fusión muestra que satisface la propiedad de cobertura contable (todo nuevo conjunto contable de ordinales está cubierto por un conjunto contable del modelo básico), y por tanto no colapsa el continuo. Un real de Prikry-Silver es mínimo.