Alineación de puntos aleatorios

Question

Siempre que dibujo al azar unos diez puntos, veo que siempre habrá 3 puntos que son "casi" colineales. Esta observación me lleva a considerar las siguientes preguntas:

Pregunta 1: Suponga que$n$ puntos se generan uniformemente al azar en un cuadrado, sea$\phi_n$ el ángulo más grande que está formado por tres de ellos. ¿Con qué rapidez$E(\phi_n)$ tiende a$\pi$?

Pregunta 2: Para$n>2$ y$\epsilon > 0$, calcule$P(\phi_n > \pi-\epsilon)$?

Answer 1

Con respecto a la Pregunta 2,$P(\phi_n > \pi-\epsilon)$ está al menos exponencialmente cerca de$1$. De hecho, sea$(p_1,\dots,p_n)$ la secuencia aleatoria de$n$ puntos extraídos de forma independiente y uniforme del cuadrado. Dejar $k:=\lfloor n/3\rfloor$. Para$j=1,\dots,k$, deje que$A_j$ denote el ángulo más grande en el triángulo con vértices$p_{3(j-1)+1},p_{3(j-1)+2},p_{3(j-1)+3}$. Luego$\phi_n\ge A_1\vee\cdots\vee A_k$, y entonces, \begin{equation} P(\phi_n > \pi-\epsilon)\ge1-P(A_1\vee\cdots\vee A_k \le \pi-\epsilon) =1-q^k=1-q^{\lfloor n/3\rfloor}, \end {equation} donde$q:=P(A_1\le\pi-\epsilon)<1$.

Answer 2

En la pregunta 2, si$n > 2\pi/\epsilon$, entonces$P(\phi_n > \pi-\epsilon) = 1$.

Organiza los puntos en un polígono. El total de los ángulos interiores es$(n-2)\pi$, por lo que al menos uno debe ser al menos$\pi - 2\pi/n$.