Sea$n \geq 2$,$H \lneq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$,$\zeta_k$ una primitiva$k$ - la raíz de la unidad. ¿Es posible que$$\sum_{h \in H} \zeta_k^{h} \in \mathbb{Z}$$ for every $ k$ dividing $ n$ such that $ n / k \ leq | H | $?
No sé la respuesta incluso si$k=n$. Es decir, ¿puede ser que$$\sum_{h \in H} \zeta_n^{h} \in \mathbb{Z}$ $
Suponemos hacia una contradicción que todas las sumas de la primera pregunta son números enteros. Establecer$$f(x) = \prod_{h \in H}(x - \zeta_n^h)$ $
Afirmamos que todos los polinomios simétricos en las raíces de$f$ son números enteros, por lo que basta con mostrar que para cada$1 \leq d \leq |H|$$$\sum_{h \in H} \zeta_n^{dh} \in \mathbb{Z}$$ but this is true by our assumption since $ \ zeta_n ^ d = \ zeta_k $ for some $ k$ dividing $ n$ with $ n / k \ leq | H |$ from the inequality for $ d$. This shows that $ f \ in \ mathbb {Z} [x]$ is of degree smaller than $ \ phi (n)$ (since $ H$ is proper) having $ \ zeta_n $ como raíz, contradicción.
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