Pegado de categorías trianguladas

Question

¡Hola!

Dada una categoría triangulada, se pueden buscar descomposiciones semiortogonales en subcategorías trianguladas (¿más simples?).

Me gustaría saber si hay una manera de atacar el problema contrario, es decir, clasificar las formas en que dos categorías trianguladas dadas pueden ser compuestas para dar una gran categoría triangulada que se descompone semiortogonalmente en las dadas. ¿Alguien sabe de esto?

Espero que esta pregunta no sea demasiado vaga.

Gracias.

Answer 1

Si $T = \langle A ,B\rangle$ es una descomposición semiortogonal y $\alpha_\ast:A \to T$ , $\beta_\ast:B \to T$ son los funtores de incrustación, entonces se puede considerar el functor $\beta^\ast\circ\alpha_\ast:A \to B$ (o su adjunto derecho $\alpha^!\circ\beta_\ast:B \to A$ ). Esto se llama el functor de encolado. Moralmente, las formas de encolado $A$ a $B$ se clasifican pegando funtores --- a cada funtor se debe poder asociar una categoría triangulada $T$ con un s.o.d. en $A$ y $B$ para el que el functor de encolado es isomorfo al dado. Debido a los conocidos problemas de no funtorialidad del cono, no se puede esperar demostrar esta afirmación precisa. Sin embargo, si todo tiene una mejora DG, se puede.

En efecto, supongamos que $A = Hot(R)$ , $B = Hot(S)$ , donde $R$ y $S$ son álgebras DG pretrianguladas y se supone que el functor $A \to B$ se realiza mediante un $R-S$ -bimódulo $M$ . Entonces se puede considerar una DG-álgebra de la forma $$U = \left(\begin{array}{cc} R & 0 \cr M & S \end{array}\right).$$ Entonces $T := Hot(U)$ debe dar lo que quiere.

Answer 2

Lidia Angeleri Hügel, Steffen Koenig, Qunhua Liu: On the uniqueness of stratifications of derived module categories] en http://arxiv.org/abs/1006.5301 (y otros trabajos recientes de Koenig) debería ser relevante: se trata de Jordan-Hölder para categorías trianguladas (adecuadas).

Answer 3

No estoy seguro, pero la proposición 1.16 del documento:

http://arxiv.org/pdf/0911.0172

de Iyama-Kato-Miyachi podría estar relacionado con su pregunta.

Answer 4

Hay un artículo de Kuznetsov y Lunts que eleva el encolado de las categorías trianguladas a las categorías graduales diferenciales: http://arxiv.org/abs/1212.6170 .