¿Cuál es el uso de las formas cuadráticas?

Question

Comenzando con el concepto abstracto de un espacio vectorial, puedo ver por qué querríamos agregar alguna estructura para poder realizar operaciones útiles. Por ejemplo, si agregamos una métrica o norma a un espacio vectorial, podemos hablar de distancias. Si agregamos un producto interno a un espacio vectorial, podemos hablar de ángulos. Estas dos operaciones también nos dan una serie de desigualdades (como Cauchy-Schwarz) que también obtenemos.

Pero no veo el punto de equipar nuestro espacio vectorial con un polinomio de grado dos. ¿Qué nos aporta eso? ¿Hay algún significado geométrico en ello (como obtuvimos distancia y ángulo de norma y producto interno)?

Answer 1

Fuera de los campos característicos $2$, hay una correspondencia entre formas cuadráticas y formas bilineales simétricas. (Todavía se puede decir algo en el caso de la característica $2$, solo hay que tener más cuidado.)

Entonces, en cierto sentido, lo que ya debes haber aprendido con el producto punto común de vectores se generaliza de una manera muy agradable para incluir espacios más interesantes.

En el caso de $\Bbb R$, por ejemplo, esto permite vectores con longitud cero y longitud negativa. En el caso de $\Bbb R^3$ con $Q((x,y,z)=x^2+y^2-z^2$, obtienes una forma bilineal indefinida pero no degenerada en el espacio. Al especificar una hoja de hiperboloide en este espacio, puedes modelar el plano hiperbólico.

Creo que si te interesa esto, me gustaría recomendar el libro de Kaplansky Álgebra lineal y geometría para aprender acerca de formas cuadráticas y bilineales, y luego encontrar una exposición básica sobre geometría diferencial que explique las raíces de las pruebas de los extremos (mencionadas por H.R.) en términos de formas cuadráticas.

En geometría diferencial, las primeras y segundas formas fundamentales incorporan formas bilineales/cuadráticas. No se trata solo de una forma, cabe resaltar, sino que en realidad hablan de una familia de formas, una para cada punto de alguna superficie en el espacio. Las formas pueden diferir de un punto a otro dependiendo de la naturaleza del espacio, pero en cualquier punto dado, la forma proporciona información sobre la forma de la superficie cerca del punto.

Answer 2

Solo quiero mencionar una aplicación. Las formas cuadráticas aparecen en problemas de optimización de funciones de varias variables. Además, la idea de positividad y negatividad definidas se basa en el concepto de forma cuadrática. Esto da lugar a una prueba para distinguir los puntos extremos, a saber, Máximo, Mínimo, y puntos de Silla. De hecho, las formas cuadráticas son los bloques de construcción de la optimización de varias variables.

Solo para escribir algunas fórmulas, considera el campo escalar $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ denotado por $f({\bf{x}})$. Entonces, escribir la expansión de Taylor en ${\bf{x}}={\bf{x}}_0$ nos llevará a

$$f({\bf{x}})=f({\bf{x}}_0)+\nabla f({\bf{x}}_0) \cdot ({\bf{x}}-{\bf{x}}_0) + \frac{1}{2} ({\bf{x}}-{\bf{x}}_0) \cdot \nabla \nabla f ({\bf{x}}_0) \cdot ({\bf{x}}-{\bf{x}}_0) + \cdot \cdot \cdot$$

A continuación, para que ${\bf{x}}_0$ sea un punto extremo se requiere que

$$\nabla f ({\bf{x}}_0) =0$$

y para estudiar el tipo de punto extremo se debe estudiar cuidadosamente la forma cuadrática

$$Q({\bf{x}})=\frac{1}{2} ({\bf{x}}-{\bf{x}}_0) \cdot \nabla \nabla f ({\bf{x}}_0) \cdot ({\bf{x}}-{\bf{x}}_0)$$

Answer 3

Otro lugar donde las formas bilineales y cuadráticas aparecen de forma natural y tienen un significado geométrico es en la topología algebraica y diferencial. Si $M$ es una variedad compacta conectada orientada de $2n$ dimensiones, el producto en cuña induce una forma bilineal en el espacio vectorial $H_{\mathrm{dR}}^n(M)$ de clases de cohomología de de Rham de $n$ dimensiones en $M$. Utilizando la dualidad de Poincaré, se puede interpretar esta forma bilineal como el cálculo de intersecciones genéricas firmadas entre subvariedades $n$ dimensionales de $M.

Puedo demostrar esto intuitivamente para el caso de que $M$ sea un toro bidimensional. Considera la siguiente imagen (tomada de la página de Wolfram Mathworld sobre intersección de homología):

Para el toro, $H_{\mathrm{dr}}^1(M)$ es un espacio vectorial real de dos dimensiones y podemos elegir una base $\mathcal{B} = (v_1, v_2)$ para $H_{\mathrm{dr}}^1(M)$ bajo la cual $v_1$ corresponde al círculo azul en la imagen y $v_2$ corresponde al círculo rojo. En $H_{\mathrm{dr}}^1(M)$ tenemos una forma bilineal $g$ que codifica las intersecciones entre los círculos. Tenemos $ g(v_1, v_1) = 0 $ lo cual corresponde al hecho de que si desplazamos un poco el círculo azul, la intersección entre el círculo azul original y el círculo desplazado es cero. Del mismo modo, tenemos $g(v_2, v_2) = 0$. Sin embargo, tenemos (podemos elegir la base de manera que) $g(v_1, v_2) = 1$ lo cual corresponde al hecho de que el círculo azul y el círculo rojo se intersectan en un solo punto (contado con un signo positivo) y aun si los desplazamos un poco, aún se intersectarán genéricamente en un solo punto. Si cambiamos el orden de $v_1$ y $v_2$, esto no afecta la intersección geométrica pero sí cambia el signo y por lo tanto $g(v_2, v_1) = -1$. Así, la forma de intersección $g$ es una forma bilineal en $H_{\mathrm{dr}}^1(M)$ representada por la matriz

$$ [g]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. $$

En este caso, $g$ es una forma bilineal antisimétrica pero si la dimensión de $M$ es divisible por $4$, será una forma bilineal simétrica (correspondiente a una forma cuadrática). La forma $g$ codifica información sobre subvariedades que están dentro de $M$ y es un invariante importante de $M$. Se puede usar para mostrar que dos variedades no son homeomorfas al demostrar que las formas bilineales correspondientes no son equivalentes. Puedes leer un poco más al respecto aquí.