La Lógica de primer Orden frente de Segundo Orden de la Lógica

Question

Wikipedia describe el primer orden frente de segundo orden, la lógica de la siguiente manera:

La lógica de primer orden sólo utiliza las variables que van más individuos (elementos del dominio de discurso); de segundo orden, la lógica de estas variables, así como otras variables que van más conjuntos de individuos.

Da $\forall P\,\forall x \in P \lor de x \noen P)$ como ASÍ la fórmula de la lógica, lo que hace perfecto sentido para mí.

Sin embargo, en un post en CSTheory, el cartel afirmó que $\forall x\forall y(x=y\leftrightarrow\forall z(z\x\leftrightarrow z\y))$ es una de las FO de la fórmula. Creo que esto no debe ser así, ya que en la fórmula anterior, de $x$ y $y$ son conjuntos de individuos, mientras que $z$ es un individuo (y por lo tanto este debe ser un MODO de la fórmula).

He mencionado esto como un comentario, pero dos usuarios comentaron que ZF puede ser completamente descrito por FO lógica, y por lo tanto $\forall x\forall y(x=y\leftrightarrow\forall z(z\x\leftrightarrow z\y))$ es una de las FO de la fórmula.

Estoy confundido. Podría alguien explicar esto por favor?

Answer 1

A mí me parece que estás confundiendo el primer fin de fórmulas con su intención de interpretaciones.

El lenguaje de la teoría de conjuntos consta de solo un 2 lugar predicado símbolo, generalmente denota $\$. La frase que usted cita es una de primer orden de la declaración - que significa exactamente lo que dice: "para todo $x$ y para todos los $s$, ($x = y$ iff para todos $z$, ($z \in x$ ffi $z \in s$))", pero no decirle lo que $x$ es. Cuando dices "pero $x$ es un conjunto y $z$ es un individuo, por lo que esta afirmación se ve de segundo orden!", estás agregando una interpretación de la imagen, que no es especificado por el primer fin de fórmula solo - a saber, que "para todo x" significa "para todos los conjuntos x" y "$\$" significa "la costumbre de $\$ en la teoría de conjuntos".

En primer orden la lógica, este "adición de interpretación" es generalmente llamado "la exhibición de un modelo".

He aquí otra forma de ver este mismo orden de declaración. Supongamos que reinterpretar las cosas - digo "para todo $x$" significa "para todos los números reales $x$" e $\$$<$. Entonces, $\forall x \forall y$ ($x=y$ ffi $\forall z$, ($z \in x$ ffi $z \in s$)) es una declaración verdadera: se dice que dos números reales son iguales si tienen la misma colección de pequeñas cosas. Observe que en este modelo, nada se ve de segundo orden.

Por el contrario, en la lógica de segundo orden, que se refiere directamente a los subconjuntos, de modo que en cualquier modelo (es decir, la interpretación), $\forall$ S significa "para todos los subconjuntos de lo que establezca la variable $x$ rangos".

Answer 2

La declaración es de hecho una declaración en el estándar de la Teoría de conjuntos. Pero no es de extrañar que estás un poco confundido.

La mayoría de la gente piensa de los conjuntos y elementos como cosas diferentes. Sin embargo, en el estándar de la teoría de conjuntos no es este el caso.

En el estándar de la teoría de conjuntos, todo es un conjunto (no hay "ur-elementos", elementos que no son conjuntos). Los objetos de la teoría de conjuntos son conjuntos de sí mismos. La primitiva relación $\$ es una relación entre conjuntos, no entre ur-elementos y conjuntos. Así, por ejemplo, el Axioma de que el juego de Poder en ZFC los estados que $$\forall x\existe y(\forall z(z\y \leftrightarrow z\subseteq x))$$ que es una declaración de intenciones, porque todas las cosas que se cuantificó a través de objetos de la teoría (es decir, los "conjuntos").

Por lo que necesita para olvidar la noción de que los "elementos" son cosas en conjuntos y conjuntos de cosas son las que contienen los elementos. En ZF, todo es un conjunto.

Es un poco difícil ver la diferencia entre primer y segundo orden de las declaraciones en ZF precisamente porque los "conjuntos" son los objetos, y por otra parte, dado cualquier conjunto, existe un conjunto que contiene a todos los subconjuntos (el juego de poder). En una manera, que los Axiomas son creados precisamente para permitir que usted para hablar acerca de las colecciones de conjuntos sin tener que ir a la lógica de segundo orden.

En ZF, para llegar a segundo orden en que usted necesita para empezar a hablar de "uso apropiado de clases" o "propiedades". Por ejemplo, es por eso que la Comprensión no es un axioma, sino a toda una familia infinita de axiomas. La comprensión de la esencia se dice que por cada propiedad $P$ y cada objeto $x$ de la teoría (es decir, cada conjunto $x$), $\{y\mid y\x\wedge P(y)\}$ es un conjunto. Pero tratando de cuantificar sobre todas las proposiciones sería un segundo orden de declaración. En lugar de ello, usted tiene un "Axioma Esquema de" el que dice que para cada propiedad $P$, usted tiene un axioma que dice: $$\forall x\existe y\Bigl(z\y\leftrightarrow\bigl(z\x\wedge P(z)\bigr)\Bigr).$$ Si intenta cuantificar sobre "$P$", luego de obtener una segunda orden de declaración en ZF.

Answer 3

Reemplazar la no-lógica relacional símbolo ∈ R y la confusión desaparece. El problema surge del hecho de que el símbolo ∈ hace confundir el neutro símbolo del lenguaje de la teoría de conjuntos (que no tiene propiedades diferentes a las expresadas por los axiomas de la teoría) con la intención de interpretación del símbolo real acerca de los conjuntos. El conjunto de teorías como la de ZF tienen muy extraño modelos que no tiene nada que ver con la intención de modelo y la interpretación de la relación $R$ no tiene nada que ver con la verdadera relación de pertenencia entre conjuntos.

Un primer orden de la teoría puede tener muchas clases, y el significado de algunos de esos tipos puede ser mayor tipo de objetos, por ejemplo, podemos tener dos clasificados de la teoría, donde el significado de los objetos de la primera especie son números naturales y el significado de los objetos de la segunda especie son conjuntos de números naturales. Podemos cuantificar sobre ellos y todavía persiste la teoría de primer orden, a pesar de que tiene dos tipos. Los modelos de esta teoría necesita tener dos conjuntos, uno para la interpretación de los objetos de la primera clase y la otra para la interpretación de los objetos de la segunda especie, pero no hay necesidad de ser ningún tipo de relación entre estos dos conjuntos que se utilizan para la interpretación de los objetos, incluso si la intención de interpretación para el segundo tipo de conjuntos de objetos a partir de la primera clase. Las únicas propiedades de que estos dos conjuntos se deben satisfacer son las expresadas por los axiomas de la teoría. Usted puede agregar axiomas de una teoría de conjuntos como ZFC para el segundo criterio y considerar los objetos de la primera clase como urelements de la teoría de que la satisfacción de algunos de los otros axiomas por ejemplo, de primer orden de la Aritmética de Peano. Esta es todavía una de primer orden de la teoría. Y la teoría tendrá modelos donde las interpretaciones de los dos tipo no están relacionados en la forma prevista, es decir, los objetos de la segunda orden no se los conjuntos de objetos de la primera clase, y no hay ninguna manera para hacer cumplir este sintácticamente, es decir, utilizando los axiomas.

Un segundo o mayor orden de la teoría impone restricción alguna sobre las posibles interpretaciones de algún tipo que se llama el mayor de ordenación. Estas restricciones no son sintácticos, es decir, no son los axiomas de la teoría, pero la semántica, es decir podemos restringir los modelos de la teoría a aquellos que satisfacen determinadas condiciones, por ejemplo, los miembros del conjunto, la interpretación de la segunda especie en los dos clasificados a la teoría de números que he mencionado anteriormente son realmente los conjuntos de objetos de la primera clase. Esto es como asumiendo una cierta cantidad de la teoría de conjuntos semánticamente. Sin estas restricciones semántico acerca de la interpretación de la teoría todavía es de primer orden.

La orden superior teorías son interesantes para el estudio de las cosas como números naturales. El (completa/full) de segundo orden de la aritmética de Peano se fuerza al conjunto de la interpretación de la segunda clase para ser exactamente el powerset de la primera clase. Tenga en cuenta que esta teoría no es axiomatizable, es decir, no hay un conjunto de primer orden axiomas que va a capturar exactamente estos modelos. (De hecho, incluso más débil de la versión de este segundo orden de la teoría de conjuntos que no requieren de la existencia de todos los subconjuntos de la primera clase no son axiomatizable.)

Por otro lado, no conozco ningún tipo de orden superior que la teoría de conjuntos, y en el hecho de que el concepto en sí parece un poco antinatural (por supuesto, puede ser debido a mi falta de conocimiento).