Es un bivariante de la función es un polinomio de la función con respecto a cada variable necesariamente un bivariante polinomio?

Question

Deje $ \mathbb{F} $ ser un incontable de campo. Supongamos que $ f: \mathbb{F}^{2} \rightarrow \mathbb{F} $ satisface las siguientes dos propiedades:

1. Para cada una de las $ x \in \mathbb{F} $, la función de $ f(x,\cdot): y \mapsto f(x,y) $ es un polinomio de la función en $ \mathbb{F} $.
2. Para cada una de las $ y \in \mathbb{F} $, la función de $ f(\cdot,y): x \mapsto f(x,y) $ es un polinomio de la función en $ \mathbb{F} $.

Es necesariamente cierto que $ f $ es un bivariante polinomio de la función en $ \mathbb{F}^{2} $? Lo que si $ \mathbb{F} $ es meramente countably infinito?

Answer 1

Tal vez esto funciona para el countably caso infinito. Orden de los racionales (o lo que sea countably infinito campo) como $r_1,r_2,\dots$. Vamos $$f(x,y)=(x-r_1)(y-r_1)+(x-r_1)(x-r_2)(y-r_1)(y-r_2)+\cdots$$ Then if $r$ is any rational, say, $r=r_j$, then $f(r,y)$ is a polynomial of degree $j-1$ in $s$, and similarly for $f(x,r)$. But clearly $f$ no es una función polinómica - - - ¿cuál sería su grado?

Answer 2

Como se muestra es Gerry Myerson la respuesta, la respuesta es NO al $\mathbb F$ es countably infinito.

La respuesta es SÍ al $\mathbb F$ es incontable, sin embargo.

Croquis de la prueba : dado que sólo hay countably muchos de los grados, los polinomios se comparten un grado en una multitud innumerable. Este límite en el grado permite utilizar la interpolación, y para recuperar la totalidad de $f$.

Más detallados prueba : a Denotar por $d(x)$ el grado del polinomio univariado $f(x,.)$ $x\in {\mathbb F}$ (recordemos que el grado del polinomio es cero $-\infty$), y poner $U_d=\lbrace x \in {\mathbb F} | d(x)=d\rbrace$$d\in \lbrace -\infty \rbrace \cup {\mathbb N}$. A continuación, el $U_d$ formar una contables de la partición de $\mathbb F$, así que al menos una de las $U_d$, decir $U_{n}$, es incontable.

Podemos suponer que la $n>0$, como en los casos $n=-\infty$ $n=0$ son similares y más simple. Deje $y_0,y_1, \ldots y_{n}$ $n+1$ distintos valores en $\mathbb F$, esto es posible debido a $\mathbb F$ es incontable. (si la característica de $\mathbb F$ es cero, podemos simplemente tomar $y_i=i$). El uso de la interpolación de Lagrange, pongamos

$$L_k(y)=\frac{\prod_{j \neq k}{(x-x_j)}}{\prod_{j \neq k}{(x_k-x_j)}}$$

para $0 \leq k \leq n$. Entonces uno tiene, para cualquier polinomio $P$ grado $\leq n$ y cualquier $y\in{\mathbb F}$,

$$ P(y)=P(y_0)L_0(y)+P(y_1)L_1(y)+ \ldots +P(y_n)L_n(y) $$

En particular, uno tiene para cualquier $(x,y)\in U_n \times {\mathbb F}$,

$$ (1) \ f(x,y)=f(x,y_0)L_0(y)+f(x,y_1)L_1(y)+f(x,y_2)L_2(y)+ \ldots +f(x,y_n)L_n(y) $$ El lado derecho es un fijo bivariante polinomio, nos vamos a denotar por $Q(x,y)$. Deje $y\in {\mathbb F}$. A continuación, los dos polinomios univariados $f(.,y)$ $Q(.,y)$ coinciden en la multitud innumerable $U_n$, por lo que deben coincidir en todas partes. Finalmente, $f=Q$ en todas partes y hemos terminado.