Este otoño me estoy planteando hacer un curso de lectura "avanzada" de Topología Algebraica, más concretamente de teoría de la homotopía. Podría extender este curso de lectura a lo largo de un año y no me importaría estudiar mucho, así que querría cubrir bastante material. Tengo conocimientos básicos de Topología Algebraica (correspondientes a la Topología Algebraica de Hatcher). ¿Saben de algún buen curso que se haya impartido y que me pueda servir de inspiración para un curso de lectura? Los enlaces serían bienvenidos, o tal vez algún material que pueda utilizar. Estoy un poco a oscuras.
Respuesta
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mland
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Hay varias cosas que uno puede aprender cuando se adentra en la teoría de la homotopía.
Como no sé cuánto sabes ya sobre este tipo de temas, incluiré muchas cosas posibles que podrías hacer.
Por un lado creo que merece la pena familiarizarse con los conjuntos simpliciales (¿los conoces?) y su relación con los espacios topológicos.
Una buena (en mi opinión la mejor) referencia es "simplicial homotopy theory" de goerss y jardine.
Al estudiar la relación con los espacios topológicos ahora depende de la cantidad de teoría de homotopía que ya conozcas.
Deberá aprender sobre los complejos CW, las fibraciones, los grupos de homotopía, el teorema de Hurewicz, el teorema de Whitehead, la secuencia exacta larga de una fibración, la factorización mediante el cilindro y la fibra de homotopía, las aproximaciones CW y las secciones de Postnikow.
Supongo que todo esto se trata al menos en el libro "Elements of homotopy theory" de G.W. Whitehead. Probablemente también hay tratamientos más nuevos de esto, por ejemplo "Modern Classical homotopy theory" de J. Strom. Yo no conozco este libro, pero un buen amigo mío ha leído en él.
Entonces, lo que podría aprender a continuación, creo, sería el lenguaje de las categorías de los modelos. Una buena introducción es el artículo de Dwyer y Spalinski titulado "Homotopy theory and model categories" ( aquí hay un enlace a un pdf http://folk.uio.no/paularne/SUPh05/DS.pdf )
Luego en el libro de Goerss y Jardine en los capítulos 1 y 2 aprenderás mucho sobre esto y la importancia de los conjuntos simpliciales en este asunto.
Merece la pena aprender muchos ejemplos de categorías de modelos (por ejemplo, Top con estructura de modelo de Quillen, Top con estructura de modelo de Strom, complejos de cadenas, conjuntos simpliciales, espectros secuenciales...)
Después de todo esto, lo siguiente que hay que hacer es apoyarse en los fundamentos de la teoría de la homotopía estable. Pero por el momento creo que esto ya es suficiente.
Si me dices lo que ya sabes, tal vez podría dar una sugerencia más precisa de lo que debes aprender a continuación, ya que me imagino que lo que te he dicho son unos 2 o 3 cursos y un seminario :)
Espero que ayude un poco, Saludos cordiales
