¿Cuántos subconjuntos de$\mathbb{R}$ son orden isomorfo a$\mathbb{Q}$?

Question

• ¿Cuántos subconjuntos de$\mathbb{R}$ son orden isomorfo a$\mathbb{Q}$?
• ¿Cuántos subconjuntos de la línea larga $\omega_1\times[0,1)$ son orden isomorfos a$\mathbb{Q}$?

Puedo ver que los resultados en ambos casos están entre$\mathfrak{c}$ y$\mathfrak{2^c}$.

Answer 1

Hay$2^{\aleph_0}$ subconjuntos de$\Bbb Q$ cuyo orden es isomorfo a$\Bbb Q$.

Para ver esto, tenga en cuenta que$\Bbb{Q\setminus N}$ es el orden isomorfo a$\Bbb Q$, y considere para cada$A\subseteq\Bbb N$ el conjunto$\Bbb{Q\setminus N}\cup A$.

Dado que no hay más de$2^{\aleph_0}$ subconjuntos contables en$\Bbb R$, la respuesta debe ser$2^{\aleph_0}$.

Answer 2

Hay muchos subconjuntos contables continuos del continuo (porque$\mathfrak{c}^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$). Por tanto, la respuesta es$\mathfrak{c}$. Vea esta pregunta .