Grupos finitos con elementos de orden n

Question

Considere un grupo finito donde todos los elementos tienen el mismo orden$n$. ¿Qué se puede decir de estos grupos?

Para$n=2$ se pudo demostrar que dicho grupo es isomorfo a$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^k$. ¿Podría generalizarse de alguna manera en el caso$n>2$?

EDITAR: Seguramente la identidad tiene orden 1, así que tenemos que excluirla.

Answer 1

Además de la respuesta de Víctor, la respuesta es "una especie de sí" para$p=3$. El grupo$B(n,3)$ no es beliano para$n>1$ pero admite una forma normal, consulte "Teoría de grupos" de M. Hall. Si$p>3$ no tiene suerte: se sabe que$B_0(2,5)$ tiene$5^{34}$ elementos, pero$B_0(3,5)$ y$B_0(2,7)$ son demasiado difíciles de manejar con aproximadamente$5^{2280}$ y$7^{10000}$ elementos. Consulte "Alrededor de Burnside" de Kostrikin para una discusión detallada.

Answer 2

Considere la cantidad de pines necesarios en los paquetes de CPU para tener múltiples buses anchos. Por ejemplo, ocho núcleos de CPU cada uno con un bus de datos de 64 bits, además de otros pines variados para otros fines. ¿Hay paquetes de CPU disponibles en la actualidad con quizás 800 pines?

Answer 3

La respuesta es$no$, incluso para$n=3$. El grupo$G$ cuya presentación es$G= \langle x, y, z | x^3=1, y^3=1, z^3=1, [x,z]=1, [y,z]=1, [x,y]=z^{-1} \rangle$ no es abeliano de orden$27$, y todos sus elementos no triviales tienen orden$3$. Este es el grupo cuya etiqueta es$[27,3]$ en la lista GAP o MAGMA de grupos pequeños.