H_3 de SL(n,Z) y SL(n,F_p)

Question

¿Puede alguien decirme qué $H_3(SL_n(\mathbb{Z});\mathbb{Z})$ y $H_3(SL_n(\mathbb{F}_p);\mathbb{Z})$ ¿lo son? Es fácil encontrar referencias para $H_1$ y $H_2$ pero resulta que necesito $H_3$ también. Lo único que me importa son los valores estables.

Answer 1

Resumiendo los comentarios, el establo ( $n\geq 3$ ) los valores de $H_3(SL_n;\mathbb Z)$ son

• $H_3(SL_\infty(\mathbb Z);\mathbb Z) = \mathbb Z/24$
• $H_3(SL_\infty(\mathbb F_q);\mathbb Z) = \mathbb Z/(q^2-1)$

y se puede encontrar en Weibel's El $K$ -libro .

En concreto, se tiene $$ K_2(R)\xrightarrow{[-1]}K_3(R)\to H_3(E(R))\to0 $$ para cualquier anillo (Corolario IV.1.20 allí), con $K_2(R)=H_2(E(R);\mathbb Z)$ y $K_3(R)=H_3(St(R);\mathbb Z)$ , donde $E(R)\subseteq GL(R)$ es el subgrupo generado por las matrices elementales y $St(R)\twoheadrightarrow E(R)$ es su extensión central universal.

Para la mayoría de los anillos decentes, incluidos los enteros y los campos, $E_n=SL_n$ para $R$ los números enteros, $K_2(\mathbb Z)=H_2(SL_n(\mathbb Z))=\mathbb Z/2$ (Milnor), $K_3(\mathbb Z)=H_3(St_n(\mathbb Z))=\mathbb Z/48$ ( Lee & Szczarba 1976 ), y el mapa $[-1]$ es distinto de cero. Para $R=\mathbb F_q$ , $K_2$ es cero y $K_3$ es $\mathbb Z/(q^2-1)$ (Quillen).