Verificación de coeficientes de formas modulares

Question

Hola, Me preguntaba acerca de las buenas técnicas que uno puede utilizar para demostrar que dados ciertos coeficientes, son los coeficientes de Fourier de una forma de cúspide, suponiendo que conocemos el peso y el nivel deseados. Conozco el "teorema inverso" de Weil, pero no conozco ningún ejemplo en el que se haya utilizado para demostrar que algo es una forma modular. Por lo tanto, incluso un puntero a un ejemplo de que sería útil. Tengo curiosidad por saber si existen también otros métodos más directos. Gracias.

Answer 1

Quizá pueda añadir algo:

1. La famosa demostración de Wiles del último teorema de Fermat (y la posterior demostración de la modularidad de todas las curvas elípticas sobre $\mathbf{Q}$ de Breuil, Conrad, Diamond, Taylor) es una especie de ejemplo último en el que "dados ciertos coeficientes [asociados a una curva elíptica por el recuento de puntos], se [demuestra que son] los coeficientes de Fourier de una forma de cúspide". Este teorema también produce una estrategia general para demostrar que una lista de números son los coeficientes de una forma de cúspide en algunos casos: relacionar esos números con el recuento de puntos de una curva elíptica. Observaciones similares se aplican hoy en día a las variedades abelianas, debido al teorema de Ribet según el cual la conjetura de Serre implica la modularidad de todas las variedades abelianas sobre $\mathbf{Q}$ de ${\rm GL}_2$ -tipo.

2. Existe algo llamado método Faltings-Serre, que es un enfoque alternativo para demostrar enunciados de modularidad en casos particulares. Una búsqueda en Google de "Faltings Serre" dará muchos resultados. He aquí un ejemplo concreto: http://www.math.wisc.edu/~boston/ell.pdf . También hay un artículo de Edray Goins que explica cómo utilizar el método de Faltings-Serre para obtener nuevos resultados en casos particulares que van más allá de (1), y tiene una buena lista de referencias: http://homepage.mac.com/ehgoins/papers/serre-faltings.pdf

3. Otro ejemplo http://wstein.org/papers/artin/ que es un artículo que escribimos Kevin Buzzard y yo, en el que demostramos que las listas de números (trazas de Frobenius) asociadas a ciertas representaciones de Galois de A_5 son los coeficientes de formas modulares de peso 1. Se puede obtener el mismo resultado por "pensamiento puro" hoy en día como aplicación de la prueba de Khare-Wintenberger de la conjetura de Serre. Hoy en día se puede obtener el mismo resultado por "puro pensamiento" como aplicación de la prueba de Khare-Wintenberger de la conjetura de Serre. Pero aún así, las técnicas computacionales introducidas en ese artículo tienen cierto valor. Hay ideas similares en la tesis doctoral de Joe Buhler y también en Springer Lecture Notes in Math Volume 1585.

4. Existe un Teorema de Sturm (véase, por ejemplo, el Teorema 9.18 de mi libro sobre formas modulares http://wstein.org/books/modform/stein-modform.pdf y las referencias) que tiende a ser muy relevantes para su pregunta en la práctica. El resultado de Sturm básicamente te dice que si los primeros "pocos" coeficientes de dos $q$ -las expansiones de formas modulares concuerdan módulo a primo, entonces todos los términos concuerdan.

Esta lista podría seguir y seguir. También existen ideas y técnicas similares para las formas modulares de Hilbert.

Answer 2

Depende de lo que entiendas por "determinados coeficientes" y de cómo se den.

Esto suena como si tuvieras un puñado (finito) de coeficientes en un $q$ -expansión y quieren intentar "rellenarlos" de una forma modular de peso y nivel prescritos. Si este es el caso, es bastante fácil. Esto se debe a que el espacio de tales formas es finito-dimensional, y una base del espacio se calcula fácilmente (utilizando, por ejemplo, el software SAGE). Esto reduce el problema al álgebra lineal básica.

Si, por el contrario, tiene toda una $q$ -expansión, no está tan claro. Se puede truncar y emplear el procedimiento anterior. Sólo mencionaré tres cosas:

1) Si su ampliación no es modular, esto acabará por decírselo (al tomar trozos más grandes).

2) Si se trata de una forma modular (pero no tiene a priori conocimiento de esto), entonces sólo te da muchas pruebas de que tu expansión es una forma modular, pero no lo demuestra. Por supuesto, si usted sabe más acerca de sus coeficientes que usted podría ser capaz de volver atrás y demostrar que es la forma evidenciado anteriormente.

3) Si por casualidad sabes que tu expansión es una forma modular de un peso y nivel dados y sólo quieres saber "qué es", entonces este método determinará eventualmente de forma demostrable lo que es (en términos de la base) tomando trozos suficientemente grandes.

En cuanto al teorema inverso... sin duda necesitarías todos los coeficientes, pero me cuesta imaginar que ese método sea muy práctico (pero no soy muy analítico).

Answer 3

Creo que la respuesta de Ramsey da en el clavo, pero quería comentar el teorema inverso.

El teorema inverso toma como entrada una serie de Dirichlet (más generalmente, un $L$ -) cuya continuación analítica (y mucho más) ya se conoce y te dice que en realidad procede de una forma automórfica. Por desgracia, los únicos métodos que conozco para demostrar la continuación analítica requieren saber que ya procede de una forma automórfica. Así que ciertamente suena circular, y sólo lo he visto aplicado para demostrar functorialidad global (para grupos clásicos cuasi-split, potencias simétricas pequeñas, etc). Permítanme explicar rápidamente el argumento:
Básicamente (eludiendo los detalles difíciles hasta el punto de que puedo decir cosas que son literalmente, pero espero que no moralmente, incorrectas) digamos que empiezas con una representación automórfica $\pi$ en algún grupo clásico $G$ vivir en el interior $GL(N)$ . El método Langlands-Shahidi demuestra que la torsión $L$ -funciones $L(s,\pi\times \tau)$ son bonitas (enteras, ecuación funcional, etc.), con $\tau$ una representación automórfica de $GL(m)$ con $m < N$ . La functorialidad local da ascensos desde $\pi_\nu$ en $G_\nu$ a $\Pi_\nu$ en $GL(N)$ tal que el local $L$ -coinciden en que $L_\nu(s,\pi_\nu\times\tau_\nu)=L_\nu(s,\Pi_\nu\times\tau_\nu)$ .
Desde $L(s,\Pi\times\tau)=\prod_\nu L_\nu(s,\Pi_\nu\times\tau_\nu)=L(s,\pi\times\tau)$ es agradable para todos $\tau$ por lo que se aplica el teorema inverso y $\Pi$ es una representación automórfica de $GL(N)$ .

Modularidad / posibles métodos de automorfia (por ejemplo. Conjetura de Serre , Teorema de modularidad ) también existen. En el caso de peso 2, dada la suficiente información sobre los coeficientes y una cantidad suficiente de pluck, no es inconcebible que usted podría demostrar que los coeficientes en realidad provienen de una curva elíptica (o varias curvas elípticas si su forma modular no es una eigenforma), a continuación, utilizar la modularidad para deducir que provienen de una forma modular.

Answer 4

Si se supone que la forma modular es una nueva forma con un peso y un nivel prescritos (EDIT : también es necesario conocer el valor propio de la involución de Atkin-Lehner), entonces sus coeficientes de Fourier pueden adivinarse a veces utilizando el hecho de que la serie L asociada satisface una ecuación funcional. La cuestión es que utilizando la ecuación funcional, la serie L puede calcularse mediante una serie rápidamente convergente, por lo que sólo es necesario tener a mano unos pocos coeficientes de Fourier para calcular una aproximación de la misma. Esto da incluso un método muy práctico y potente para encontrar formas modulares, al menos cuando el nivel es pequeño. Deberías mirar el siguiente ejemplo escrito por Tim Dokchitser :

http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/1392#15270

El algoritmo de Dokchitser para calcular funciones L se ha implementado en Sage y Magma. Tenga en cuenta que el método descrito aquí es (que yo sepa) puramente experimental, en el sentido de que no pruebe que la expansión q resultante es modular.

Answer 5

( intenté publicar esto antes, disculpas si aparece dos veces)

Para un ejemplo de aplicación directa del teorema inverso de Weil, véase la formulación original de Shimura de la elevación de Shimura (Anales 1973). Shimura construye un mapa de formas modulares de peso semi-integral a formas modulares de peso integral definiendo una serie L construida a partir de los coeficientes de Fourier de la forma de entrada, y dedica la mayor parte del artículo a demostrar las propiedades analíticas necesarias para el teorema inverso.