Grupos finitos no abelianos de orden impar

Question

Por cada par $n$ existe un grupo no abeliano. Como ejemplo de tal grupo podemos tomar el grupo diédrico.

La pregunta es sobre impar $n$ . Para algunos de ellos no hay grupos no abelianos de orden $n$ (por ejemplo, si $n$ es primo entonces el grupo de orden $n$ es cíclico y, por tanto, abeliano).

Por lo que impar $n$ ¿se conocen ejemplos de grupos finitos no abelianos de orden $n$ ?

Answer 1

Es bien sabido que para un número natural $n$ con factorización de primos $n=\prod_i p_i^{r_i}$ todos los grupos de orden $n$ son abelianos si y sólo si todos los $r_i\le 2$ y $\gcd(n,\Phi(n))=1$ donde $\Phi(n)=\prod_i (p_i^{r_i}-1)$ . (Ver http://groups.google.co.uk/group/sci.math/msg/215efc43ebb659c5?hl=en )

Para otros $n$ hay grupos no abelianos. Si algunos $r_i\ge3$ entonces podemos tomar un producto directo de un grupo no abeliano de orden $p_i^3$ y un grupo cíclico. Siempre hay grupos no abelianos de orden $p^3$ ; cuando $p=2$ toman el grupo de cuaterniones, y cuando $p$ es impar el grupo de matrices triangulares superiores con diagonal unitaria sobre $\mathbb{F}_p$ .

De lo contrario, $G$ tendrá un factor $pq$ con $p\mid(q-1)$ o $pq^2$ con $p\mid(q^2-1)$ . En el primer caso el grupo de todos los mapas $x\mapsto ax+b$ para $a$ , $b$ , $x\in\mathbb{F}_q$ y $a\ne 0$ tiene un subgrupo no abeliano de orden $pq$ . En el segundo caso, sustituya $\mathbb{F}_q$ por $\mathbb{F}_{q^2}$ y luego obtener un grupo no abeliano de orden $pq^2$ . En ambos casos se multiplica por un grupo cíclico para obtener un orden $n$ grupo no abeliano.

Answer 2

Quizá le interese el resultado de que si n es impar, | G | = n para un grupo finito G y si cada subgrupo de G es normal, entonces G es abeliana. (Esto no se cumple si la hipótesis de que n es impar se omite como lo demuestra el grupo de cuaterniones de orden 8).

Un grupo cuyo cada subgrupo es normal se llama Grupo Dedekind . Un grupo Dedekind no abeliano se llama Grupo hamiltoniano . Con esta terminología el resultado simplemente afirma que un grupo Dedekind de orden impar es abeliano.

La prueba no es inmediatamente evidente. Se basa en un resultado de clasificación que afirma que todo grupo hamiltoniano es un producto directo del grupo de cuaterniones de orden 8, un grupo abeliano elemetario de 2 y un grupo abeliano periódico de orden impar. Sin embargo, una vez establecido este resultado de clasificación, el resultado puede verse fácilmente.