Subgrupo de grupo hiperbólico generado por elementos sin torsión

Question

Deje que $G$ ser un grupo hiperbólico. Sé que es un problema abierto si $G$ tiene un subgrupo libre de torsión de índice finito. Pero si dejamos que $N$ ser el subgrupo de $G$ generada por sus elementos de no torsión, entonces es $G/N$ necesariamente finito?

Si no, $G/N$ sería un grupo de torsión infinito generado finamente con muchas clases de conjugación.

Answer 1

Sí. La siguiente respuesta está inspirada en el comentario de Andy Putman. Deje que $N_ \infty (G)$ ser el subgrupo generado por elementos de orden infinito, en un grupo $G$ .

Cada grupo hiperbólico no elemental $G$ con un radical finito trivial tiene una propiedad útil, que lleva el ridículo nombre de "P _ingenuo ", es decir, que para cada subconjunto finito $F$ existe un $x$ de tal manera que el homomorfismo natural de $F \ast\mathbf {Z}$ a $G$ mapeo $F$ idéntico a sí mismo y al generador de $ \mathbf {Z}$ a $x$ es inyectable. Esto es el resultado de Arzhantseva y Minasyan: G. Arzhantseva, A. Minasyan, Relativamente los grupos hiperbólicos son C * - simple. J. Divertido. Anal. 243 (2007), no. 1, 345-351.

Esto se aplica a $F$ igual a un singleton arbitrario $\{y\}$ , $y \in G$ entonces ambos $x$ y $yx$ tienen un orden infinito, por lo tanto $y \in N_ \infty (G)$ . Así que P _ingenuo para un grupo $G$ implica $G=N_ \infty (G)$ es decir.., $G/N_ \infty (G)=\{1\}$ .

Además, la propiedad $N_ \infty (G)=G$ para grupos no triviales (!), también es estable bajo la toma de extensiones con núcleo de torsión. Por lo tanto, se satisface por todos los grupos hiperbólicos no elementales, ya que estos tienen un subgrupo normal finito máximo y heredamos P _ingenuo del cociente no trivial.

Para completar, los casos elementales: si $G$ es finito entonces $N_ \infty (G)=\{1\}$ y el cociente $G/N_ \infty (G)$ es $G$ en sí mismo. Si $G$ es de dos extremos, entonces, denotando por $W(G)$ el radical finito, $G/W(G)$ es infinitamente cíclico o infinitamente diedro según si $G$ actúa trivialmente o no en su límite de 2 elementos, y entonces el cociente deseado $G/N_ \infty (G)$ es trivial, o cíclico de orden 2.

Así para un grupo hiperbólico arbitrario, $G/N_ \infty (G)$ es finito.

(Nótese que usamos mucho menos que el resultado completo de Arzhantseva-Minasyan! sólo lo necesitamos para una sola tonelada $\{y\}$ y necesitamos mucho menos que la inyección: sólo la inyección en el subgrupo cíclico $ \langle xy \rangle $ .)