Sé que el cierre bajo las operaciones de Gödel es equivalente a $\Delta_0$ -separación (más extensionalidad, unión, par, fundamento). Esto es finitamente axiomatizable. Pero cuando añadimos $\Delta_0$ -para obtener KP, ¿sigue siendo finitamente axiomatizable? Y en este caso, ¿cómo demostrarlo?
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Paul
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Como ya he explicado con más detalle en https://mathoverflow.net/a/87249 Toda teoría secuencial cuya interpretación de la aritmética satisface el esquema de inducción para todas las fórmulas del lenguaje de la teoría es uniformemente esencialmente reflexiva y, en consecuencia, no es finitamente axiomatizable (a menos que sea inconsistente). La teoría de conjuntos de Kripke-Platek es, en efecto, una teoría secuencial con inducción completa: concretamente, inducción sobre $\omega$ se desprende del esquema de axiomas de $\in$ -inducción.
Por lo tanto, KP no es finitamente axiomatizable, y el culpable es el fundamento ( $\in$ -inducción); la recogida es en gran medida irrelevante para el resultado. Nótese que en ZF, $\in$ -inducción es equivalente a un solo axioma, pero se necesita el esquema completo de separación para demostrarlo. En su ausencia, el esquema de fundamentación de KP no es finitamente axiomatizable.
La respuesta a la pregunta depende de cómo se formule "fundación", es decir, como axioma único o como esquema completo (que se asegura de que todos los no vacíos clase definible paramétricamente tiene un elemento mínimo, o lo que es lo mismo: el principio de $\in$ -inducción se mantiene). La respuesta de Emil Jerábek se refiere a la última formulación, pero no a la primera.
Antiguamente, a partir de Barwise, KP se definía de forma que incluía el esquema completo de fundamentación, quizás por el hecho de que KP estaba diseñado para estudiar la clase de modelos bien fundamentados de un fragmento bien comportado de ZF. Pero esto ha cambiado un poco, por ejemplo en el artículo de Adrian Mathias La fuerza de la teoría de conjuntos de MacLane (Annals of Pure and Applied Logic, 2001) KP sólo incluye $\Pi_1$ -Fundación, afirmando que todo no vacío $\Pi_1$ -La clase definible (parámetros permitidos) tiene un elemento mínimo (ver p.111 del texto hipervinculado anterior).
Es bien sabido que el KP definido por Mathias es finitamente axiomatizable. La prueba utiliza el hecho de que existe una definición de verdad definible para $\Pi_1$ -fórmulas en KP.
