¿Qué es una categoría tensorial?

Question

Una categoría monoidal es un objeto categórico bien definido que abstrae los productos al entorno categórico. El término categoría de tensor también se utiliza, y parece significar una categoría monoidal con más estructura, normalmente la estructura de una cateogría abeliana, pero no puedo encontrar una definición precisa. Así que hago una pregunta: ¿Qué es una categoría tensorial?

Answer 1

Parece que hay muchas definiciones diferentes en la literatura, basadas en documentos individuales. Pero, creo que eso podría cambiar, ahora que el libro de texto Categorías de tensor de Etingof, Gelaki, Nikshych y Ostrik. Definen una categoría tensorial como sigue:

Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado, y $C$ un localmente finito $k$ -lineal abeliana categoría monoidal rígida. Si el bifunctor $\otimes: C\times C\to C$ es bilineal sobre morfismos, entonces $C$ se denomina categoría multitensor. Supongamos que $C$ es indecomponible (es decir, no es equivalente a una suma directa de categorías multitensoras no nulas). Si $End_C(1) \cong k$ entonces $C$ se llama categoría tensorial.

Por supuesto, también he visto que la categoría tensorial se utiliza para referirse a la categoría monoidal, a menudo en trabajos relacionados con los trenzados. Pero, en general, tensor significa algo más que monoidal. Esto también es cierto en la teoría de la homotopía: una categoría modelo tensorial tiene que satisfacer más que una categoría modelo monoidal (necesita los funtores $X\otimes -$ y $-\otimes X$ para preservar las equivalencias débiles, para el cofibrante X; véase este documento mía con Yau).

De todos modos, estoy de acuerdo con Noah en que hay que intentar averiguarlo por el contexto, y hacer preguntas como ésta es una buena manera de asegurarse de que la gente está siendo cuidadosa con la terminología, ¡para que no acabemos con más definiciones! Por mi parte, sólo utilizaré "categoría tensorial" para lo que quieren decir Etingof, Gelaki, Nikshych y Ostrik.

Answer 2

No existe una única definición aceptada de "categoría tensorial" que se ajuste a todos los usos. Casi siempre significa abeliana (o una condición cocompleta similar) y k-lineal. Normalmente también significa rígido. A menudo también significa que el objeto unitario es simple. Ocasionalmente también significa simétrico. Sólo hay que fijarse en la definición utilizada en cada documento concreto.