Planitud de normalización

Question

Sea$X$ un esquema integral noetheriano y$f \colon X' \to X$ sea el morfismo de normalización. Se sabe que, si no es trivial,$f$ nunca es plano (ver Liu, ejemplo 4.3.5).

¿Qué sucede si suponemos$X$ normal y tomamos la normalización en una extensión finita (separable) del campo de función de$X$? Tenga en cuenta que en el caso más fácil, a saber,$X=\rm{Spec}(R)$, con$R$ un dominio Dedekind, tenemos que$f$ es plano.

Answer 1

Un ejemplo de característica cero: Sea$k$ un campo de característica cero (o cualquier cosa que no sea$2$). Sea$L$ el campo$k(x,y)$ y sea$K$ el subcampo$k(x^2, xy, y^2)$, entonces$[L:K]=2$. Deje que$S \subset L$ sea el anillo$k[x,y]$, y deje que$R = S \cap K = k[x^2, xy, y^2]$.

Entonces$S$ es la normalización de$R$ en$L$. Afirmo que$\mathrm{Spec} \ k[x,y] \to \mathrm{Spec} \ k[x^2, xy, y^2]$ no es plano. Prueba: el mapa es genéricamente$2 \to 1$. Sin embargo, la fibra por encima del origen es$k[x,y] /(x^2, xy, y^2)$, que tiene una longitud$3$.

Answer 2

Un caso tonto: supongamos que$X$ es característico$p$ y normal y supongamos que incrustamos$K(X) \subseteq L$ donde$L = (K(X))^{1/p}$ (la extensión inseparable estereotípica). Entonces la normalización de$X$ es isomorfa a$X = X'$ nuevamente, y el mapa natural$f : X' \to X$ es Frobenius. Luego

Teorema: (Kunz) $f$ es plano si y solo si$X$ es regular.