Mientras reflexionaba sobre una solución para la problema de generar matrices aleatorias 0-1 con pequeños determinantes absolutos, una vez más me doy cuenta de lo poco que sé sobre las matrices 0-1. Mi idea inicial era elegir un determinante aleatorio, construir una matriz 0-1 para que coincidiera con este determinante y luego permutar las filas y columnas de la matriz. Pero rápidamente abandoné esta idea porque simplemente no conozco la forma de construir una matriz 0-1 con un determinado determinante.
De hecho, ni siquiera sé cuán grande puede ser el determinante de una matriz de 0-1. El Hadamard se dirige al determinante absoluto de una $n \times n$ La matriz 0-1 es $ \frac {(n+1)^{(n+1)/2}}{2^n}$ (en línea ref. 1 y ref. 2 ), y el límite es agudo si y sólo si existe una matriz de orden Hadamard $n+1$ . Sin embargo, hasta donde yo sé, no se conoce un límite superior para el determinante absoluto de un general $n \times n$ Matriz 0-1.
Aunque he abandonado la idea mencionada, los determinantes de las matrices 0-1 todavía me intrigan. Así que, aquí está mi pregunta:
Deje que ${ \cal B}^{n \times n}$ denota el conjunto de todos $n \times n$ 0-1 matrices y dejar $M= \max_ {A \in B} \det A$ . ¿Es cierto que por cada $d \in\ {0,1, \ldots ,M\}$ existe $A \in { \cal B}^{n \times n}$ de tal manera que $ \det (A)=d$ ?
Para $n \le6 $ la respuesta es positiva, pero no tengo ni idea del caso general. Editar: La respuesta no tiene por qué ser completa. Si esta pregunta ha sido reconocida como un problema abierto en la literatura, me alegro de conocer las referencias.
