¿Cuál es la probabilidad de que dos números sean relativamente primos?

Question

La pregunta básica que me hago está en el título, pero vamos a hacerla más rigurosa a continuación.

Sea $N=\{1, 2, ..., n\}$ y poner la medida de recuento (normalizada), $\mu_n$ el $N\times N$ .

Sea $\mathcal{S}_n= \{ (a, b)\in N\times N: gcd(a, b)=1\}$

et $x_n=\mu_n(\mathcal{S}_n).$

Entonces, ¿cuál es el comportamiento asintótico de $x_n$ como $n\rightarrow\infty$ .

Answer 1

La probabilidad tiende a $\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}$ como fue mencionado por Qiaochu. En realidad, esto se generaliza a campos numéricos arbitrarios, y es un hecho menos conocido.

De hecho, en cualquier campo numérico, la probabilidad de que dos ideales sean relativamente primos viene dada por $1/\zeta_K(2)$ donde $\zeta_K$ es el Función zeta de Dedekind del campo numérico $K$ . Y se demuestra de forma similar al resultado clásico. Aquí hay una referencia: "La probabilidad de primalidad relativa de los enteros gaussianos" . Por ejemplo, la probabilidad análoga para los enteros gaussianos es $6/(\pi^2G)$ donde $G=1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$ es el Constante catalana .

Answer 2

Se trata de un problema de recuento muy habitual en la teoría analítica de números. Aquí hay una prueba rigurosa: Basta con derivar una fórmula asintótica para $$\sum_{a,b\leq n, (a,b)=1} 1 $$ Esto es $$\sum_{a,b\leq n, d|a, d|b} \mu(d) $$ $$=\sum_{d\leq n} \mu(d)\sum_{k\leq n/d , l\leq n/d} 1$$ $$=\sum_{d\leq n} \mu(d) ((n/d)^2 + O(n/d) ) $$ $$=n^2\sum_{d\leq n} \mu(d)/d^2 + O(n\log n)$$ $$=n^2\sum_{d=1}^{\infty} \mu(d)/d^2 + O(n) + O(n\log n)$$ . $$=n^2 6/\pi^2 + O(n\log n).$$

Answer 3

La probabilidad es $\frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}$ . Encontrará un esbozo de demostración en esta entrada del blog (en realidad sólo demuestro, más o menos, que si la densidad existe debe ser $\frac{6}{\pi^2}$ ).