Parece obvio que, si la esfera de $S^n$ es homeomórficos a un producto $X\times Y$ de los espacios topológicos, entonces cualquiera de las $X$ o $Y$ es un punto. Cómo puede uno demostrar que?
Respuestas
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Supongamos $S^n = X \times Y$ donde $X$ $Y$ son arbitrarias espacios topológicos (que son homotopy-equivalente a CW complejos). Con coeficientes enteros, no es el (no natural) split Kunneth sexseq
$0 \rightarrow \bigoplus_i (H_i(X) \otimes H_{m-i}(Y)) \rightarrow H_m(X \times Y) \rightarrow \bigoplus_i \mbox{Tor}(H_i(X),H_{m-i-1}(Y)) \rightarrow 0$.
Claramente $X$ $Y$ debe trayectoria-conectado desde $\pi_0$ lleva los productos a los productos (y, obviamente, debemos asumir,$n \geq 1$), por lo $H_0(X) = H_0(Y)=\mathbb{Z}$. Desde $-\otimes \mathbb{Z}$ no hace nada para un grupo abelian, esto significa que estamos recibiendo una copia de $H_*(X)$ $H_*(X\times Y)$ a partir de la inclusión de arriba cuando la tensored contra la $H_0(Y)$, y del mismo modo para $H_*(Y)$. Además, todos los homología de $S^n$ debe provenir de las inclusiones en el anterior sexseq, ya $\mbox{Tor}$ siempre consiste enteramente de torsión. Así que sin pérdida de generalidad, $H_*(X) \cong H_*(S^n)$$H_*(Y) \cong H_*(\mbox{pt})$. Desde $\pi_1$ lleva los productos a los productos, tanto en $X$ $Y$ son simplemente conectado. Por lo que la proyección de $S^n =X \times Y \rightarrow X$ es una homología de isomorfismo de simplemente-espacios conectados y por lo tanto es un (débil) homotopy de equivalencia, mientras que $Y$ es simplemente conectado espacio con trivial integral de homología por lo que debe ser (débilmente) contráctiles. Por lo tanto la factorización $S^n = X \times Y$ es trivial.
The Hoss
Puntos
77
Suponiendo que todo está conectado a un colector.
Vamos $X$, $Y$ tal que $X \times Y = S^n$. Antes de aplicar el Kunneth teorema permite que tenga en cuenta que las dimensiones de $X$ $Y$ debe sumar a $n$. $$\bigoplus_{i+j=k} H^i(X)\otimes H^j(Y)=H^k(S^n) $$
Supongamos $\dim X = i < n$. A continuación, $H^i(X)=\mathbb{Z}=H^{n-i}(Y)$ ya que estos son la única posibilidad de que no sea cero cohomology grupos que se suman a la $n$ cual es requerido por el Kunneth teorema. Pero por lo $H^i(S^n)=\bigoplus H^k(X)\oplus H^j(Y) \neq 0 $ como la suma contiene $H^i(X) \oplus H^0(Y)=\mathbb{Z}$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, wlog, $i=n$ $Y$ es un punto.
