¿Hay algún indicio teórico de que esta conjetura del catalán pueda ser cierta?

Question

Matemático belga Catalán en $1876$ hizo la siguiente conjetura: Si consideramos la siguiente secuencia de números primos de Mersenne: $2^2-1=3 , 2^3-1=7 , 2^7-1=127 , 2^{127}-1$ entonces $$2^{2^{127}-1}-1$$ también es número primo. El último término tiene más de $10^{38}$ dígitos y no se puede probar en la actualidad, por lo que me gustaría saber ¿hay algún indicio teórico de que la conjetura de Catalán pueda ser cierta?

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En Londres Curt Noll página principal He encontrado la afirmación de que este número no tiene divisores primos por debajo de $5*10^{51}.$

Answer 1

No conozco ninguna razón teórica para pensar que sería cierto. Conjeturaría que es falso.

La heurística estándar sugiere que el primer ejemplo desconocido sería primo con probabilidad $$e^\gamma\cdot2^{-120}\approx1.34\cdot10^{-34}\%$$ que es pequeño.

Answer 2

Es posible que todos los números de esa secuencia sean primos y que haya una explicación. El postulado de Bertrand afirma que no hay ningún número primo que sea más del doble del número primo anterior. Puede parecer que no hay forma posible de demostrarlo. Resulta que se puede encontrar una prueba no muy larga del postulado de Bertrand en el artículo de Wikipedia Demostración del postulado de Bertrand . Derivó algunas afirmaciones que no parecen útiles pero, al final, todas se combinaron para derivar el resultado final.

El hecho de que $2^{2^{127} - 1} - 1$ no tiene divisores primos por debajo de $5 \times 10^{51}$ no es en absoluto una señal muy esperanzadora de que $2^{2^{127} - 1} -1$ es primo. Creo que dada esa información, hay un 50% de posibilidades de que haya un factor por debajo de $25 \times 10^{100}$ . Si no encuentra uno a continuación $25 \times 10^{100}$ todavía hay un 50% de posibilidades de que se encuentre uno debajo $625 \times 10^{200}$ . ¿Cuántas veces hay que elevarlo al cuadrado para superar la raíz cuadrada de $2^{2^{127} - 1} - 1$ ?

Sin embargo, ya se ha demostrado que $2^{82,589,933} - 1$ es primo. Tal vez algún día, van a demostrar que $2^{2^{127} - 1} - 1$ es primo.

He observado un patrón: 31, 89 y 127 son exponentes primos de Mersenne. 31 y 127 son a su vez primos de Mersenne. 89 es un factor de $2^{11} - 1$ .

Para cualquier número entero positivo, $x$ , $y$ y $z$ decimos que $x$ es congruente con $y$ modulo $z$ cuando la diferencia entre $x$ y $y$ es múltiplo de $z$ . Esa declaración está escrita $x \equiv y \mod z$ . Un grupo es un par ordenado de un conjunto y una operación binaria sobre ese conjunto, $(S, \cdot)$ que satisfaga las siguientes propiedades.

• $\cdot$ es asociativo
• Existe un elemento de identidad $e$
• Cada elemento $x$ tiene un inverso $x^{-1}$ lo que significa $x \cdot x^{-1} = e$ y $x^{-1} \cdot x = e$

Es un teorema bien conocido que la multiplicación módulo grupo de cualquier número primo es cíclica. Esto demuestra que para cualquier número primo $p$ todos los factores de $2^p - 1$ debe ser de la forma $2kp + 1$ . Sin embargo, cuando un número primo es de la forma $2kp + 1$ su probabilidad de ser un factor de $2^p - 1$ es mucho mayor de lo que cabría esperar normalmente.

Tal vez, al igual que podríamos formar muchos resultados y combinarlos en una prueba del postulado de Bertrand, podamos hacer algo parecido para demostrar que todos los números de la secuencia que has enumerado son primos.

Existe un teorema ya conocido no muy difícil de demostrar que para cualquier número primo impar $p$ 2 es un cuadrado módulo $p$ sólo si $p$ es congruente con 1 o 7 módulo 8. Me he dado cuenta por observación de que hay una manera bastante agradable y simple de determinar cuando alguna vez cualquier número entero positivo es un cuadrado módulo de cualquier número primo, pero no pudo encontrar la manera de demostrarlo. Es posible que haya otra prueba sencilla para determinar para cualquier número primo mayor que 3 que sea congruente con 1 módulo 6 si 2 es un cubo módulo ese número. Quizá haya alguna propiedad especial de los números en la secuencia que has enumerado. Tal vez hay una buena manera fácil de determinar cuando un número es un cubo módulo de cualquier número primo congruente a 1 módulo 6, una quinta potencia módulo de cualquier número primo congruente a 1 módulo 10.

Tome también la secuencia $s_0 = 4$ , $s_1 = 4^2 - 2 = 14$ , $s_2 = 14^2 - 2 = 194$ , $s_3 = 194^2 - 2 = 37634$ etc. Según el artículo de Wikipedia Prueba de primalidad de Lucas-Lehmer para cualquier primo impar $p$ , $2^p - 1$ es primo si y sólo si $s_{p - 2}$ es múltiplo de $2^p - 1$ . Quizás también podríamos derivar otras afirmaciones y combinarlas con esas afirmaciones para derivar el resultado final de que todos los números de la secuencia son primos.