¿Están todas las raíces del polinomio en el disco unitario?

Question

Cómo demostrar (o refutar) que todas las raíces del polinomio de grado $n$ $$\sum_{k=0}^{k=n}(2k+1)x^k$$ pertenecen al disco $\{z:|z|<1\}?$ Los cálculos numéricos lo confirman, pero no veo ninguna aproximación a una prueba de una afirmación tan sencillamente formulada. Sería útil en relación con un problema de irreductibilidad.

Answer 1

Sea $f$ denota tu polinomio. Raíces del polinomio $$g(x)=\sum_{k=0}^nx^{2k+1}=x\frac{x^{2(n+1)}-1}{x^2-1}$$ son $0$ y raíces de unidad. Por el Teorema de Gauss-Lucas las raíces de $g'(x)=f(x^2)$ yacen en su casco convexo, y a fortiori en el disco $\{z:|z|\le1\}$ . Para obtener una desigualdad estricta, basta con demostrar que $g$ es libre de cuadrados.

Answer 2

La idea está tomada de esta otra pregunta ¿Polinomio con los primos como coeficientes irreducible?

Demuestre en cambio que $f(1/x)$ tiene todas las raíces fuera del disco unitario. Para ello, multiplique por $(x-1)$ y equivalen a $0$ obteniendo:

$$x^{k+1}+\sum_1^k 2x^j=2k+1$$ Se toman los valores absolutos y se aplica la desigualdad triangular y se obtiene:

$$|x^{k+1}|+\sum_1^k 2|x^j|\geq \left|x^{k+1}+\sum_1^k 2x^j\right|=2k+1$$ Esto es claramente imposible si $|x|<1$ . Además, si $|x|=1$ existe una igualdad que significa que todos los términos están alineados. En concreto $2x^2/2x$ es real, así que la única posibilidad es $x=1,-1$ . Pero tampoco es una raíz de $f(1/x)$ así que ya está.

Answer 3

El enfoque estándar para este tipo de preguntas es utilizar el procedimiento de Schur-Cohn.