Ilimitación de primos en aritmética acotada

Question

La conocida pregunta de Wilkie pregunta si$I\Delta_{0}$ prueba la infinidad de números primos. Sabemos que agregando una oración a$I\Delta_{0}$ que dice "la función exponencial es total", es posible probar la ilimitación de los números primos. Esta oración es$\Pi_{2}$. Suponga que$\Pi_{1}\text{-Th}(\mathbb{N})$ denota el conjunto de todas las$\Pi_{1}$ oraciones que son verdaderas en$\mathbb{N}$. Mi pregunta es:

¿Se sabe que $ I \ Delta_ {0} + \ Pi_ {1} \ text {-Th} (\ mathbb {N}) $ demuestra lo ilimitado de los números primos?

Answer 1

Sí, por razones triviales:$\forall x>0\,\exists y\le2x\,(y>x\land\mathrm{Prime}(y))$ es una oración$\Pi^0_1$ verdadera que implica lo ilimitado de los números primos. (Por supuesto, los límites más débiles que el postulado de Bertrand también servirían, como$y\le x^2$.)