Piso de la función zeta de Riemann

Question

Cómo demostrar que $$\left\lfloor\zeta\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\rfloor=n$$ para cada número entero positivo $n$ ?

Answer 1

Se sabe que (véase el Corolario 1.14 en Montgomery-Vaughan: Teoría de los números multiplicativos I) $$\frac{1}{\sigma-1}<\zeta(\sigma)<\frac{\sigma}{\sigma-1},\qquad \sigma\in(0,1)\cup(1,\infty).$$ En particular, tomar $\sigma=1+\frac{1}{n}$ obtenemos $$n<\zeta\left(1+\frac{1}{n}\right)<n+1.$$ Esto es un poco más fuerte que tu afirmación. Se pueden obtener mejores límites a partir de la expansión en serie de Laurent de $\zeta(s)$ alrededor de $s=1$ .