Encuentra un tal que %-%-% es divisible por %-%-%.

Question

<blockquote> <p>Buscar <span class="math-container">%-%-%</span> de forma que <span class="math-container">%-%-%</span> sea divisible por <span class="math-container">%-%-%</span>.</p> </blockquote> <p>Traté de tomar las raíces del polinomio que son <span class="math-container">%-%-%</span></p> <p>Y yo obtuve la ecuación <span class="math-container">%-%-%</span></p> <p>Ahora no sé qué hacer a continuación.</p> <p><em>Cualquier ayuda sería apreciada.</em></p>

Answer 1

Pista. Si <span class="math-container">%-%-%,</span> a <span class="math-container">continuación, %-%-%</span> y <span class="math-container">\begin{align} ax^{17}+bx^{16}+1 &=(ax+b)(x+1)^8+1 \ &=(ax+b)(x^2+2x+1)^4+1\ &=(ax+b)(3x+2)^4+1\ &=(ax+b)(21x+13)^2+1. \end-----------------------------------------------------------------------</span> ¿Puedes tomarlo desde aquí? Tenga en cuenta que 3,2, 21,13 son todos números de Fibonacci.

Answer 2

Como se ha observado correctamente, el polinomio de 17o grado también debe tener las mismas raíces (<span class="math-container">%-%-%</span>). La sustitución de estas raíces en <span class="math-container">%-%-%</span>, se obtienen dos ecuaciones que se pueden resolver simultáneamente para <span class="math-container">%-%-%</span> y <span class="math-container">%-%-%</span>, produciendo <span class="math-container">$\frac{1\pm\sqrt5}2$$</span>