Integración de una familia de espacios vectoriales

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de medidas, o incluso un subespacio de $\mathbb{R}^n$ y supongamos que tengo una familia de espacios vectoriales de dimensión finita $\{V_x\}_{x\in X}$ indexado por $X$ . ¿Hay alguna manera de "integrar" a esta familia sobre $X$ (sujeta a condiciones de bondad sobre ella) para obtener algún tipo de "objeto vectorial-espacial" $\int V_x \,dx$ que posee una "dimensión" (en general no un número entero), tal que

$$\mathrm{dim} \left(\int V_x \,dx\right) = \int (\mathrm{dim}\, V_x)\,dx \;?$$

Puntos extra si hay alguna forma de ver la teoría de las categorías $\int V_x\,dx$ como un "coproducto" de la familia $\{V_x\}_{x\in X}$ .

Answer 1

Seré breve y (felizmente) añadiré más detalles a petición ( Editar: Se han añadido algunos detalles más).

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Algo de filosofía

Eslogan: Se puede hacer una matemática fibrilada sobre un espacio medido .

La mayoría de nosotros ya estamos acostumbrados a la idea de hacer geometría algebraica sobre esquemas y topología sobre espacios topológicos, pero estamos menos familiarizados con hacer matemáticas sobre espacios medidos. Sin embargo, este concepto tiene una larga historia. Quizá su primera aparición sea en la noción de haz de espacios de Hilbert sobre un espacio medido como integral directa de los espacios de Hilbert. También en la teoría de las álgebras de von-Neumann se descompone un álgebra general en una integral directa de factores (de manera similar a la forma en que un Álgebra Azumaya se descompone sobre su centro). Encuentro que el punto de vista de Furstenberg sobre la teoría ergódica es paralelo al de Grothendieck sobre la geometría algebraica en la forma en que se tratan los espacios en relación con un espacio base, sólo que la teoría ergódica es de alguna manera más generosa al permitir nuevas construcciones, debido a la flexibilidad de las funciones medibles.

En las últimas décadas Zimmer desarrolló la teoría de espacios compactos convexos Gaboriau desarrolló la teoría de complejos simpliciales Sauer desarrolló la teoría de colectores , todo ello sobre un espacio de base medido. Este punto de vista es bastante común hoy en día en la teoría ergódica y hay muchos más ejemplos.

Probablemente debería mencionar que en todos los ejemplos anteriores, las teorías se desarrollaron por un motivo externo. Tal vez sea hora de abordar estas teorías como un todo y desarrollar una teoría maestra. No lo sé.

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Espacios vectoriales sobre $X$

Dado un espacio medido $X$ (es decir, un espacio de Borel estándar dotado de una clase de medida), un espacio vectorial (complejo) sobre $X$ es un espacio de Borel $V$ dotado de un mapa de Borel $\pi:V\to X$ de manera que las fibras $V_x$ sobre un punto (a.e) está dotado de una estructura de espacio vectorial que varía de forma medible. Se podría dar una definición axiomática precisa mediante los axiomas estándar de los espacios vectoriales reinterpretados mediante construcciones de productos de fibra. Por ejemplo, se tiene el mapa de adición $V\times_X V \to V$ y la multiplicación escalar $\mathbb{C}\times V \to V$ que conmutan con los mapas obvios a $X$ y satisfacen las relaciones de compatibilidad obvias.

Cualquiera que sea la definición de "una variación medible $X$ -familia indexada de espacios vectoriales" debería ser equivalente a un espacio vectorial sobre $X$ . Por desgracia, no he visto esta definición publicada en ningún sitio, así que digamos que es una definición de folclore .

Tenga en cuenta que asociado a $X$ tenemos el álgebra de los límites (medibles, definidos hasta la equivalencia a.e) $\mathbb{C}$ -funciones valoradas $L^\infty(X)$ , que es un conmutador álgebra de von-Neumann (un álgebra W*), es decir, un álgebra C* que tiene una predual ( $L^1(X)$ ).

A un espacio vectorial sobre $X$ , $\pi:V\to X$ se asocia el espacio vectorial de todas las (clases de) secciones medibles de $\pi$ , que se denotará $L(V)$ (o $L(\pi)$ si hay peligro de malentendidos). Se trata de un módulo sobre el álgebra $L^\infty(X)$ .

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Dimensión

Supongamos ahora que $X$ está realmente dotado de una medida finita (no simplemente una clase de medida). Entonces la integración es una rastro finito en el álgebra $L^\infty(X)$ y esta álgebra se convierte en una álgebra de von-Neumann finita . Para los módulos sobre tales tipos existe una noción de dimensión bien desarrollada, la dimensión de von-Neumann . Para los módulos proyectivos generados finitamente, esta dimensión viene dada por la traza de una determinada proyección en una determinada álgebra matricial sobre $L^\infty(X)$ (se puede adivinar qué proyección: la asociada a una presentación de un módulo como sumando directo de un módulo libre, cuya traza es independiente de la elección). La dimensión de un módulo general se define como la suma de las dimensiones de sus submódulos proyectivos f.g. Esta teoría se lleva en El libro de Lueck . Para una encuesta en línea, véase su papel .

Finalmente, es un ejercicio demostrar que para un espacio vectorial sobre $X$ , $\pi:V\to X$ según la definición anterior, tenemos que la dimensión de von-Neumann del $L^\infty(X)$ -Módulo $L(V)$ es igual a $\int_X \dim V_x$ .