¿Qué es exactamente el trato con los diferenciales? (Confesiones de un desesperado cálculo del estudiante)

Question

Así que no sé si soy el único que siente esto, pero desde que se introdujo para el Cálculo, he tenido un ligero (por no decir el mayor), la aversión a los diferenciales.

Esta especie de "fobia" comenzó desde el primer momento en que me adentré en las integrales. Sumas de Riemann parecía tener sentido, aunque para mí no eran suficientes para justificar el uso de "dx" después de que el signo integral y la función. Después de todo, usted todavía puede prescindir de él en la práctica (lo que la necesidad de escribir la base de estos rectángulos más y más?). Yo estaba satisfecho por pensar que era algo meramente simbólico para recordar a los estudiantes lo que estaban haciendo cuando se calculan las integrales definidas, y/o para ayudarles a recordar con respecto a qué variable de la integración (un poco como la razón por la que a veces usamos dy/dx para escribir un derivado). O eso pensaba yo.

Habiendo sido ahora se acercó a las ecuaciones diferenciales, estoy empezando a darme cuenta de que yo estaba completamente equivocado! Me parece "dy" y "dx", distribuidos alrededor de ecuaciones! ¿Cómo puede ser eso posible si son sólo una forma elegante de transcribir las derivadas e integrales? Me imaginaba que no tenía ningún significado fuera de esos contextos (por ejemplo: dy/dx, y para indicar una integración con respecto a x o lo que sea).

Podría alguien ayudarme? Estoy realmente confundido en el momento. Agradecería :) (P. S.: perdona que te moleste de todos en el día de acción de gracias - suponiendo que algunos de ustedes podrían ser de la US.)

EDIT: no creo que mi pregunta es un duplicado de la Es $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ no una relación?, como que uno no se da la dirección de su uso en las integrales y ecuaciones diferenciales. Independientemente de si dy/dx es una relación o no, lo que estoy preguntando es por eso que el uso de dx y dy por separado para la integración y la diferenciación. las ecuaciones. Incluso si son números, si tiende a 0, entonces dx (o dy) * lo = 0. Estoy equivocado en pensar de esa manera?

Answer 1

Si usted lee un verdadero análisis de libros de texto, tales como el Cálculo por Spivak, se las arreglan para desarrollar el cálculo rigurosamente mientras evitando diferenciales como "$dx$" y "$dy$" completamente. Esta es la manera estándar de hacer el cálculo riguroso -- que acaba de evitar el uso de diferenciales. Y, de hecho, en la licenciatura de ecuaciones diferenciales clases de argumentos que implican la manipulación de $dx$ $dy$ como cantidades individuales pueden fácilmente ser reformulado para evitar hacer esto.

Por ejemplo, si una de las ecuaciones diferenciales libro de texto dice: \begin{align} & y \, dy = dx \\ \implies & \int y \, dy = \int \, dx \\ \implies & \frac{y^2}{2} = x + C \\ \end{align} podemos reformular este argumento como \begin{align} & y \frac{dy}{dx} = 1 \\ \implies & \frac{y^2}{2} = x + C, \end{align} donde en el segundo paso, simplemente tomó antiderivatives de ambos lados, usando la regla de la cadena en sentido inverso a encontrar una antiderivada de $y \frac{dy}{dx}$.

Pero tenga en cuenta: aunque un riguroso enfoque podría evitar el uso de diferenciales totalmente, no hay necesidad de tirar "diferencial de la intuición" por la ventana, porque hace perfecto sentido si sólo pensamos en $dx$ $dy$ como extremadamente pequeño pero finito de números, y si reemplazamos $=$ $\approx$ en las ecuaciones que se derivan. Quizás la palabra "infinitesimal" podría significar "tan pequeño que los errores en nuestras aproximaciones son absolutamente insignificantes". Es plausible la obtención exacta de las ecuaciones "en el límite" (si tenemos cuidado). Hay algo estéticamente atractivo sobre el tratamiento de las $dx$ $dy$ simétricamente, que puede, tal vez, en algunas situaciones nos dan una sensación de que el enfoque utilizando diferenciales es la manera "correcta" o la más hermosa manera de hacer estos cálculos. Comparar estas dos formas de escribir una "exacta" de la ecuación diferencial:

\begin{equation} I(x,y) \,dx + J(x,y)\, dy = 0 \end{equation} vs \begin{equation} I(x,y) + J(x,y) \frac{dy}{dx} = 0. \end{equation} La primera versión es estéticamente convincente, porque es más simétrica; esto podría ayudar a explicar por qué la segunda versión es que no se ven más a menudo (a pesar de ser más fácil de entender, en mi opinión).

Por supuesto, para cualquiera de los resultados obtenidos mediante la "diferencial de la intuición", debemos encontrar una rigurosa prueba para confirmar que no había ningún error.

Tenga en cuenta también: Hay otras formas de hacer el cálculo riguroso (basado en el análisis no estándar, creo) que en realidad hacen infinitesimals riguroso. Así se las arreglan para abrazar $dx$ $dy$ como legítimo cantidades, en vez de evitarlos.

Además, en la geometría diferencial, cantidades como $dx$ se define precisamente como "formas diferenciales", y algunos tratamientos de cálculo (como Hubbard & Hubbard) adoptar formas diferenciales en una etapa temprana. Pero se puede entender cálculo rigurosamente sin el uso de formas diferenciales.

Answer 2

Si usted quiere saber lo que un matemático cosa es, necesita dos cosas:

• Cómo funciona - cuáles son las reglas de su uso.
• Una forma de expresar en términos matemáticos las cosas que usted sabe y confianza.

Para los diferenciales, sabemos cuáles son las reglas de uso de ellos. Y me han dicho algunos astutos personas han trabajado en cómo el modelo (en particular, Abraham Robinson con la no-estándar de análisis).

Hay toda una pirámide de matemática de las cosas que aceptamos sin reparos estos días en los que una vez fueron como sospechoso como diferenciales probablemente todavía lo son. Lo que suele suceder es que sabemos cómo la cosa funciona, entonces tenemos que encontrar lo que es o puede ser.

Si usted está acostumbrado a contar, lo que es un número negativo? ... un número racional?

Nuestra confianza en los números reales es quizás tan ingenuo como que en los diferenciales.