¿Existe un sistema axiomático en el que no se cumpla el teorema de la deducción?
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vipin
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Aquí utilizo la notación polaca, donde "C" indica una condicional que es un operador de dos argumentos. Las reglas de formación van:
1) todas las letras minúsculas con o sin subíndices numéricos son fórmulas.
2) Si "x" e "y" son fórmulas, entonces Cxy es una fórmula.
3) Para el presente propósito, sólo las cadenas que son fórmulas según 1) y 2) son fórmulas.
Asumiré que si el teorema de la deducción se cumple, entonces el sistema tiene CpCqp (Simp) y CCpCqrCCpqCpr (Frege) como tesis ("teoremas" en la lógica de objetos). Si esa suposición se cumple, sólo hay que encontrar cálculos lógicos en los que no se cumplan ni Frege ni Simp, y el teorema de la deducción fallará.
Ahora vamos a concentrar nuestra atención en los sistemas axiomáticos A donde el o los axiomas son tautologías en lógica proposicional clásica, y la única regla de inferencia de cualquier sistema perteneciente a A es el desprendimiento condensado "D" (tal vez podríamos permitir la sustitución ordinaria de variables y el modus ponens ordinario aquí y las cosas seguirán funcionando como sigue). En consecuencia, podemos generar tantos sistemas (contables) en los que falle el teorema de la deducción como queramos de una sola tesis de la lógica proposicional clásica (aunque no necesariamente cualquier tesis de la lógica clásica, ya que, por ejemplo, (CCNppp, D) sólo tiene una tesis).
El axioma que elijo aquí es CCpqCCqrCpr (Syll) (¡también sirven muchos otros!). Syll es válido para la lógica de 3 valores de Lukasiewicz, pero Frege no es válido para dicho sistema. En consecuencia, Frege falla para todo el sistema (Syll, D). Pero, como Frege falla para (Syll, D), Frege también fallará para (Syll', D) donde Syll' es una tesis obtenible en (Syll, D). Así, cualquier sistema (Syll*, D) no tendrá el teorema de la deducción. ¿Cuántos sistemas (Syll', D) existen? Pues bien, la variable "r" en Syll no aparece en ninguna parte del antecedente Cpq de Syll (y toda tesis de Syll es de este tipo). Así, dadas variables contablemente infinitas, podemos observar la secuencia (Syll, CCCCqrCprsCCpqs, ...) donde cualquier tesis x después de Syll se obtiene de D(Syll).(x-1) (si x=1, entonces tenemos D(Syll).Syll, si x=2, entonces tenemos D(Syll).(CCCCqrCprsCCpqs), y así sucesivamente). Así pues, (Syll, D) tiene tesis contablemente infinitas, lo que, con lo anterior, implica al menos sistemas contablemente infinitos en los que falla el teorema de la deducción.
La lógica de 3 valores de Lukasiewicz-Wajsberg, la BCI, la BCK, los cálculos relevantes, la lógica de infinitos valores de Lukasiewicz y los cálculos equivalenciales constituyen algunos de los sistemas estudiados en los que el teorema de la deducción falla (o tiene una forma modificada).
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El corolario 9.12 de la teoría de la prueba aplicada de Kohlenbach afirma que WE-HA $^\omega$ y por lo tanto WE-PA $^\omega$ no satisfacen el teorema de la deducción. Sin embargo, debo admitir que nunca entendí del todo lo que ocurría allí.
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¿Quizás habría que incluir "interesante" delante de "sistema axiomático"? Incluso en un sistema axiomático vacío, A siempre se deduce de A, pero en un sistema axiomático vacío no se puede demostrar nada, y mucho menos A => A. Considerando cualquier conjunto de axiomas que no permita la demostración de A => A, el teorema de la deducción seguiría evidentemente sin cumplirse.
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@abo: Si estás dispuesto a aflojar tanto las reglas entonces "A siempre se sigue de A" ni siquiera es cierto: en un sistema de Hilbert con sólo modus ponens y sin axiomas, A no se sigue de A.
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Creo que para que esta pregunta tenga sentido, necesitamos una definición de "sistema axiomático". Por ejemplo, personalmente consideraría tomar el teorema de la deducción como parte de la definición de "sistema axiomático"; en principio se me podría convencer de ello, pero parece un requisito razonable.
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@Francois. No era consciente de que estaba aflojando las reglas. Mirando a Mendelson, él define una teoría axiomática formal para el cálculo proposicional con tres axiomas. Conserva sólo el primero de los tres, que es A => (B => A). Entonces A => A no es demostrable, pero al menos según la definición de Mendelson, es una teoría axiomática formal (sólo que no es interesante). Se entiende que hay algunos sistemas en los que ni siquiera A se deduce de A.
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@François: ¿Cómo es eso? A es derivable de A por una prueba de una línea que consiste sólo en A, incluso si su sistema no tiene axiomas o reglas lógicas. De forma más general, todo sistema de Hilbert define una relación de consecuencia al estilo de Tarski, independientemente de la presencia de cualquier regla particular.
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Tienes razón Emil, lo que escribí no tiene sentido para mí esta mañana. No sé si es que estaba demasiado cansado para pensar o que pensaba en algo distinto a lo que escribí.
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@EmilJerábek Pero, ¿y si las únicas derivaciones permitidas en el Sistema de Hilbert son las tesis que son separables de otras tesis del sistema?
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La respuesta corta es lógica paraconsistente
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@abo Tengo que preguntarme a qué te refieres con "interesante" cuando dices que [A => (B => A)] (bajo separación y sustitución uniforme) no es interesante como sistema axiomático. Si sabes cómo funciona ese sistema, puedes "observar" que en cualquier momento se tiene un conjunto de axiomas para una lógica L con [A => (B => A)] como axioma o teorema, se puede formar al menos una clase contablemente infinita C de conjuntos de axiomas (dadas variables contablemente infinitas), donde cada miembro de C axiomitiza también L, de tal manera que ningún conjunto de axiomas perteneciente a C tiene un miembro en común con cualquier otro conjunto de axiomas.
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El teorema de la deducción tampoco se cumple en lógica epistémica .