Dado que un cúbico y un cuadrático comparten una raíz, demuestre $(ac-b^{2})(bd-c^{2})\geq 0$

Question

He aquí un problema interesante. ¿Quizás alguien sería tan amable de darme un empujón en la dirección correcta?.

Si $ax^{3}+3bx^{2}+3cx+d$ y $ax^{2}+2bx+c$ comparten una raíz común, entonces demuestre que $$(ac-b^{2})(bd-c^{2})\geq 0$$

Pensé en equiparar los coeficientes de alguna manera, pero eso se complicaba.

Utilicé la fórmula cuadrática en la cuadrática dada para hallar

$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-ac}}{a}$ son dos raíces.

Así que, si la cúbica comparte uno de estos, entonces debería ser capaz de sustituirlo por x en la cúbica.

Al hacerlo, obtuve:

$$\frac{2(ac-b^{2})\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{2}}-\frac{3bc}{a}+\frac{2b^{3}}{a^{2}}+d$$

Aquí es donde me quedé colgado. Puede que ni siquiera sea una buena forma de hacerlo.

Veo una parte de lo que hay que demostrar en la expresión anterior, $ac-b^{2}$

Ponerlo a 0 no ayuda mucho.

También pensé en dividirlos. Si comparten una raíz, entonces debería reducirse a un cuadrático en el numerador y un denominador lineal. Pero, ¿entonces qué?

¿Alguien puede dar una pista sobre la mejor manera de proceder?.

Answer 1

Pista: ¿Notas alguna coincidencia en la derivada de la cúbica?

Supongamos que $\phi$ es la raíz común. Sea $f(x)=ax^3+3bx^2+3cx+d$ y que $g(x)=ax^2+2bx+c$ . Observe que $f^'(x)=3g(x)$ para que $f'(\phi)=0$ también. De ahí $\phi$ es una raíz doble de $f$ . Desde $f$ es una cúbica, y las raíces complejas vienen de dos en dos, se deduce que $\phi$ es real, y por tanto todas las raíces de estos polinomios son reales.

En concreto esto implica algo un poco más fuerte, que tanto $c^2-bd\geq 0$ y $b^2-ac\geq 0$ . (Para obtener $b^2-ac\geq 0$ mira el discriminante. Dejo demostrado que $c^2-bd\geq 0$ a ti. (Tengo una solución si realmente quieres)).

Espero que le sirva de ayuda,

Edición: ¿Por qué tenemos $c^2-bd\geq 0$ ? Esta es la forma inmediata de la fuerza bruta, probablemente hay una solución más agradable. El cúbico tiene $\phi$ como raíz con multiplicidad $2$ y una tercera raíz, llámala $\gamma$ . Entonces, como $c=a \frac{\phi^2 +\phi\gamma+\phi\gamma}{3}$ , $b=-a\frac{\phi+\phi+\gamma}{3}$ y $d=-a\phi^2\gamma$ se deduce que $c^2 - bd \geq 0$ es equivalente a $$\phi^2 \gamma \left(\frac{\phi+\phi+\gamma}{3}\right)\leq\left(\frac{\phi^2+\phi \gamma+ \phi\gamma}{3}\right)^2.$$ Dividiendo por $\phi^2$ y multiplicando por $9$ obtenemos $$3\gamma (2\phi + \gamma) \leq (\phi+2\gamma)^2,$$ lo que equivale a $$0\leq\phi^2 -2\phi\gamma+\gamma^2.$$ Esta última línea se mantiene claramente ya que es un cuadrado.

Answer 2

Comenzamos utilizando un único paso del Algoritmo euclidiano . Sea $f(x) = ax^3 + 3bx^2 + 3cx + d$ y $g(x) = ax^2 + 2bx + c$ . Si $f$ y $g$ comparten una raíz común, entonces el polinomio $$ h(x) \;=\; f(x) - xg(x) \;=\; bx^2 + 2cx + d $$ también debe compartir esa raíz. Ahora, las raíces de $g(x)$ son reales cuando $ac-b^2 \leq 0$ y complejo cuando $ac-b^2 > 0$ . Del mismo modo, las raíces de $h(x)$ son reales cuando $bd-c^2 \leq 0$ y complejo cuando $bd-c^2 > 0$ . Si estos dos polinomios comparten una raíz común, se deduce que $ac-b^2$ y $bd-c^2$ son ambas positivas o ambas no positivas, y por lo tanto $(ac-b^2)(bd-c^2)\geq 0$ .