¿Se pueden añadir medidas por forzamiento?

Question

El teorema de Lévy-Solovay dice que los forzamientos pequeños no crean medidas. J.D. Hamkins lo ha generalizado a una clase mayor de forzamientos llamados forzamientos de brecha. Supongo que no se puede generalizar a todos forzamientos, pero no se me ocurre ningún contraejemplo. ¿Existe una noción de forzamiento que cree una $\kappa$ -medida completa (o incluso contablemente completa) $\mu$ en algún cardinal incontable $\kappa$ tal que $\mu \cap V$ no está en $V$ ?

Answer 1

La pregunta del título se refiere a si la mensurabilidad de un mensurable cardinal es absoluta hacia abajo a los modelos de tierra: si $\kappa$ es medible en una extensión forzada $V[G]$ debe ser medible en $V$ ? Esta es una pregunta que tiene sentido para cualquiera de las grandes nociones cardinales.

La respuesta es que, aunque las grandes nociones cardinales menores como inaccesibilidad y Mahlo-ness son absolutas a la baja, este este fenómeno no suele darse en el caso de los grandes cardinales. En concreto, un cardinal no mensurable $\kappa$ puede llegar a ser medible después de forzar con $\text{Add}(\kappa,1)$ .

He aquí una forma de verlo. Supongamos que $\kappa$ es una medida cardinal en $V$ . Podemos forzar $2^\kappa=\kappa^+$ preservando la mensurabilidad de $\kappa$ ya que no añade nuevos subconjuntos a $\kappa$ así que supongamos $2^\kappa=\kappa^+$ ya en $V$ . Sea $\mathbb{P}$ sea la iteración de forzamiento del soporte Easton de longitud $\kappa$ que obliga con $\mathbb{Q}_\gamma=\text{Add}(\gamma,1)$ para añadir un subconjunto de Cohen en cada cardinal inaccesible $\gamma$ . Sea $\mathbb{Q}_\kappa=\text{Add}(\kappa,1)$ sea el escenario $\kappa$ forzar, para hacerlo en la parte superior. Supongamos que $G\ast g\subset\mathbb{P}\ast\mathbb{Q}_\kappa$ es $V$ -genérico. En primer lugar afirmo que $\kappa$ es medible en $V[G][g]$ . Esto se deduce de los argumentos de elevación habituales, que aparecen en muchos de mis trabajos. Empezar con $j:V\to M$ una incrustación ultrapotente por una medida sobre $\kappa$ . El forzamiento $j(\mathbb{P})$ es isomorfo a $\mathbb{P}\ast\mathbb{Q}\ast\mathbb{P}_{tail}$ donde la cola es $\leq\kappa$ -cerrado $M[G][g]$ . Desde $|j(\kappa^+)|^V=\kappa^+$ podemos enumerar los subconjuntos densos de $\kappa$ en $M[G][g]$ en un $\kappa^+$ secuencia en $V[G][g]$ . Y ya que $M[G][g]^\kappa\subset M[G][g]$ en $V[G][g]$ De este modo, podemos diagonalizar para producir un $M[G][g]$ -filtro genérico $G_{tail}\subset\mathbb{P}_{tail}$ y así elevar $j$ a $j:V[G]\to M[j(G)]$ donde $j(G)=G\ast g\ast G_{tail}$ . Del mismo modo, el objeto $g$ es esencialmente una condición en $j(\mathbb{Q}_\kappa)$ , por lo que podemos diagonalizar de nuevo para producir un $M[j(G)]$ -genérico filtrar $h\subset j(\mathbb{Q}_\kappa)$ que lo contiene, y por tanto levante $j$ plenamente a $j:V[G][g]\to M[j(G)][j(g)]$ con $j(g)=h$ . Así, $\kappa$ es medible en $V[G][g]$ .

Mientras tanto, y este es el punto principal, afirmo que $\kappa$ es no medible en $V[G]$ . Supongamos que fuera, con incrustación $j:V[G]\to \bar M$ en $V[G]$ . Por elementalidad, dado que $V[G]$ piensa que se trata de una ampliación forzada por $\mathbb{P}$ se deduce que $\bar M=M[j(G)]$ para algún modelo interno $M$ . (Mi teoremas sobre aproximación y recubrimiento demuestran que, de hecho $M\subset V$ y $j\upharpoonright V:V\to M$ es definible en $V$ pero no lo necesitamos aquí). Podemos factorizar el forzamiento como $M[j(G)]=M[G\ast \bar g\ast\bar G_{\rm tail}]$ donde $\bar g\subset\text{Add}(\kappa,1)^{M[G]}$ es $M[G]$ -genérico. Pero tenga en cuenta que $P(\kappa)^V\subset M$ y así también $P(\kappa)^{V[G]}\subset M[G]$ . Así, $\bar g$ tendrá que ser realmente $V[G]$ -para este forzamiento, lo cual es una contradicción si $\bar g\in V[G]$ . Por lo tanto, no puede haber tal incrustación en $V[G]$ y así $\kappa$ no se puede medir allí. Este tipo de argumento se utiliza muchas veces en mi documento Destrucción o conservación, como prefiera .

Así, tenemos un modelo $\bar V$ a saber $\bar V=V[G]$ donde $\kappa$ no es mensurable, pero se convierte en mensurable después de forzar con $\text{Add}(\kappa,1)$ .

El mismo argumento esencial funciona con todos los grandes cardinales más fuertes. Si hubiéramos empezado con $\kappa$ supercompacto, para ejemplo, entonces podríamos hacer un modelo donde no es medible, pero se convierte en supercompacto tras forzarlo con $\text{Add}(\kappa,1)$ .

Kunen observó que se puede hacer un ejemplo más extremo de la siguiente manera (Ideales saturados, Revista de Lógica Simbólica , 43(1):65--76, marzo de 1978). Se basa en el hecho de que si primero se añade un Souslin homogéneo $\kappa$ -árbol, y luego fuerza con ese árbol, el forzamiento combinado equivale a $\text{Add}(\kappa,1)$ . Pero el primer paso acaba con la compacidad débil de $\kappa$ . Así que combinando esta observación con la anterior, se llega a la conclusión:

Si $\kappa$ es un cardinal medible, entonces existe un forzamiento extensión $\bar V$ en el que $\kappa$ ya no es débilmente compacta, pero forzando con un $\kappa$ -Árbol de Souslin en $\bar V$ hace $\kappa$ súbitamente medible en la extensión forzada $\bar V[g]$ . Además, si $\kappa$ era alto, fuerte o supercompacto en el modelo de suelo original, también conservará esas propiedades $\bar V[g]$ .

Por tanto, un cardinal no débilmente compacto puede convertirse en supercompacto mediante forzando.

Adición. Considere la posibilidad de forzar $\mathbb{P}$ que es una iteración de soporte Easton de longitud $\kappa$ que en inaccesible $\gamma$ fuerzas con la suma de lotería de no hacer nada, o usar $\text{Add}(\gamma,1)$ . El argumento anterior demuestra que si $\kappa$ es medible y $G$ es $V$ -genérico para $\mathbb{P}$ entonces $\kappa$ es medible en $V[G]$ . No necesitamos el escenario $\kappa$ forzamiento, ahora, dado que podemos optar por un forzamiento trivial en la etapa $\kappa$ lotería. Pero también, si obligamos a añadir $V[G]$ -genérico $g\subset\kappa$ entonces $\kappa$ sigue siendo mensurable en $V[G][g]$ ya que podemos optar por el forzamiento no trivial en la fase $\kappa$ . Pero el argumento clave anterior muestra que toda medida normal en $V[G]$ debe concentrarse en $\gamma$ para la que hicimos forzamiento trivial, y toda medida normal $\mu$ en $\kappa$ en $V[G][g]$ se centra en la $\gamma$ para los que hicimos forzamientos no triviales. De ello se deduce que tal $\mu$ en $V[G][g]$ debe tener $\mu\notin V[G]$ . Así podemos preservar la mensurabilidad, al tiempo que impedimos que las medidas normales amplíen las medidas del modelo de suelo.

Answer 2

Sólo algunos comentarios para complementar la respuesta de Joel:

Que el forzamiento pueda destruir y luego recrear la mensurabilidad se debe a Kunen:

Kenneth Kunen. Ideales saturados The Journal of Symbolic Logic 43 (1) (1978), 65-76. MR0495118 (80a:03068)

Lo mismo ocurre con la mensurabilidad de valor real, esto se debe a Gitik:

Moti Gitik, Saharon Shelah. Más sobre cardinales medibles con valores reales y forzamiento con ideales Revista Israelí de Matemáticas 124 (2001), 221-242 ([GiSh 582]). MR1856516 (2002g:03110)

Durante un tiempo se planteó la cuestión de si podemos destruir y reconstruir la mensurabilidad sin dejar de ser conservar compacidad débil. En todos los argumentos que conocía, es esencial que la compacidad débil falle en el modelo intermedio, ya que lo que conseguimos es un caso (destructible) de fallo de la reflexión de conjuntos estacionarios. Joel señala que su argumento en realidad preserva la compacidad débil, y puede llevarse a cabo en otros entornos para preservar la mensurabilidad o propiedades más fuertes.

En términos más generales, cabe preguntarse si la mensurabilidad puede "aparecer espontáneamente" por forzamiento, a través de algún otro medio, al igual que obtenemos la saturación en el ideal no estacionario sobre $\omega_1$ por el forzamiento MM, que no puede remontarse a alguna medida en algún modelo interno que el forzamiento esté reconstruyendo.

Para otra prueba del resultado concreto que pides (pero que destruye la compacidad débil en la extensión intermedia), véase la sección 4 de mi artículo sobre cardinales RVM:

Cardinales medibles con valores reales y ordenaciones de los reales . En Teoría de conjuntos. Centre de Recerca Matemàtica, Barcelona, 2003-2004 Joan Bagaria, y Stevo Todorcevic, eds.; Trends in Mathematics, Birkhäuser Verlag, Basilea, 2006, pp 83-120, MR2267147 (2007g:03064)