Supongamos que tengo dos mapas de espacios topológicos, $f:X\rightarrow B$ y $g:Y\rightarrow B$ , de tal manera que $f$ induce un isomorfismo homológico y $g$ es un fibrado y $B$ está conectado. ¿Es cierto que el mapa natural $X\times_{B}Y\rightarrow Y$ induce un isomorfismo en la homología?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esto no es necesariamente cierto. Por ejemplo, hay un espacio $X$ construido mediante la fijación de una célula tridimensional a $S^1 \vee S^2$ que sirve de contraejemplo estándar a varias preguntas. El mapa $X \to S^1$ produce isomorfismos $\pi_1(X) \to \pi_1(S^1)$ y $H_* X \to H_* S^1$ pero $\pi_2 X \to \pi_2 S^1$ no es un isomorfismo. En consecuencia, el mapa de cubiertas universales $\tilde X \to \Bbb R$ no da un isomorfismo $H_2(\tilde X) \to H_2(\Bbb R)$ .
Dejando $B = S^1$ y $g: \Bbb R \to S^1$ sea la cobertura universal, obtenemos un contraejemplo.
Sin embargo, resulta que esto es casi completamente un problema de los grupos fundamentales. Si $B$ está simplemente conectada, la respuesta a tu pregunta es sí. Un martillo pesado que se puede utilizar para demostrar esto es el Secuencia espectral de Eilenberg-Moore .
Anne-Laure
Puntos
26
He aquí una respuesta positiva a una pregunta ligeramente diferente.
Llamar a un mapa $X\to B$ "acíclico" si induce un isomorfismo en homología para cada sistema de coeficientes en $B$ . (Si $B$ es simplemente conectado entonces esto es equivalente a su hipótesis). Nótese que un mapa $F\to \ast$ es acíclico si y sólo si el espacio $F$ es acíclico en el sentido de que tiene homología integral trivial.
Utilizando las secuencias espectrales de Serre se puede demostrar lo siguiente:
Si $X\to B$ es acíclico entonces para cualquier fibrado $Y\to B$ el mapa $X\times_BY\to Y$ es acíclico.
Un fibrado $X\to B$ es acíclico si y sólo si para cada punto $b\in B$ la fibra sobre $B$ es acíclico.
