6ª conjetura de Kaplansky: dim(Irrep) | dim(algebra) - para álgebras de Hopf semi-simples

Question

Dejemos que $H$ sea un álgebra de Hopf semisimple. Una de las conjeturas de Kaplansky afirma que la dimensión de cualquier irreducible $H$ -divide la dimensión de $H$ .

¿En qué casos se sabe que la conjetura es cierta?

Answer 1

Desde Declaración de investigación de Shlomo Gelaki (que es una bonita encuesta, por cierto):

También demostramos que la dimensión de una representación irreducible de un álgebra de Hopf semisimple H, que es sea cuasitriangular o cotriangular, divide la dimensión de H. Este resultado responde parcialmente a una conjetura célebre de Kaplansky, que sigue abierta.

Answer 2

Yorck Sommerhäuser tiene una muy buena encuesta sobre las conjeturas de Kaplansky. La sección 6 está dedicada a la sexta conjetura de Kaplansky.

En el estudio de Sommerhäuser se menciona que Richmond y Nichols demostraron que la conjetura es cierta si el módulo simple tiene dimensión dos:

Teorema (Nichols & Richmond). La dimensión dimensión de un álgebra de Hopf semisimple sobre $\mathbb{C}$ es par si el álgebra de Hopf tiene un módulo simple de dimensión 2.

En el estudio de Sommerhäuser también se menciona que Montgomery y Witherspoon demostraron que la conjetura de Kaplansky es válida si lo es para una subálgebra.

En este documento

Cohen, Miriam; Gelaki, Shlomo; Westreich, Sara. Hopf algebras. Handbook of algebra. Vol. 4, 173--239, Handb. Algebr., 4, Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2006. MR2523421 (2010j:16076), enlace

está escrito que la conjetura de Kaplansky ha sido probada

• si $H$ es triangular,

• si $H$ es semisolvente,

• si $H$ es cotriangular,

• si $R(H)$ es fundamental en $H^\*$ , donde $R(H)$ es el tramo en $H^\*$ de todos los personajes de $H$ .

Answer 3

Hay un nuevo estudio sobre la sexta conjetura de Kaplansky por L. Dai y J. Dong, disponible en el arxiv . Entre otros resultados, menciona los siguientes (siempre suponiendo $\operatorname{char} k=0$ ):

Primas especiales:

Si una álgebra de Hopf semisimple tiene un módulo simple de dimensión $p$ , donde $p=2$ o $p=3$ entonces su dimensión es divisible por $p$ .

Dimensión baja:

Álgebras de Hopf semisimples de dimensión inferior a $60$ satisfacen la sexta conjetura de Kaplansky.

Propiedades particulares:

Un álgebra de Hopf semisimple $H$ satisface la sexta conjetura de Kaplansky si cumple una de las siguientes condiciones:

• Es cuasitriangular.

• Sus personajes son fundamentales en $H^*.$

• Es semisolvente.

Dividiendo otras invariantes:

$H$ un álgebra de Hopf semisimple. $A$ un transitivo $H$ -álgebra de módulos (por ejemplo $A=\operatorname{End}_k(V)$ para un simple $H$ -Módulo $V$ ). Entonces $\dim A$ divide $(\dim V)^2\dim H$ .

Para las referencias, véase la encuesta mencionada anteriormente.