Curvas elípticas y componentes conectados

Question

¿Existen curvas elípticas de rango positivo con dos componentes reales conectados en los que todos los puntos racionales se encuentran solo en un componente? Se agradecen mucho los ejemplos concretos.

Answer 1

Si. No es difícil encontrar un ejemplo: Tome$$E \colon y^2 = x^3 - 12 x - 1\,.$ $ Entonces$E(\mathbb Q) \cong \mathbb Z$ y$P = (5, 8)$ es un generador (según Magma). Dado que$P$ está en el componente de la identidad, todos los puntos racionales están en ese componente.