Cohomología de 1er grupo multiplicativo en un espacio vectorial

Question

Dejemos que $\mathbb k$ sea un campo de característica $p$ y que $\mathbb k_n$ sea una representación unidimensional de $\mathbb k^\times$ donde la acción viene dada por $t\circ v= t^n v$ . ¿Se sabe cuáles son los grupos Ext $\mathrm{Ext}^1(\mathbb k_n,\mathbb k_m)$ en la categoría de $\mathbb F_p[\mathbb k^\times]$ ¿módulos? Me interesa sobre todo el caso de que $\mathbb k$ es algebraicamente cerrado y $n=0$ si esto simplifica las cosas

Answer 1

Casualmente necesitaba saber algo sobre esto recientemente, y una cosa que sé es que ese grupo Ext desaparece por $0 < \vert m - n \vert < p - 1$ .

Hay una prueba en el Lemma 6.1 de mi artículo "Cohomología de grupos de automorfismo de grupos libres con coeficientes retorcidos". La prueba está escrita para enteros p-locales en lugar de $\mathbb{F}_p$ pero también funciona en ese caso.

Answer 2

Así que volviendo a la pregunta creo que puedo demostrar que $\mathrm{Ext}^1_{\mathbb F_p[\mathbb k^\times]}(\mathbb F_p, \mathbb k_n)=0$ para $n\neq 0$ y $\mathbb k=\mathbb F_q$ o $\mathbb k=\overline{\mathbb F_p}$ . Primera observación general: $\mathrm{Ext}^1_{\mathbb F_p[\mathbb k^\times]}(\mathbb F_p, \mathbb k_n)$ es naturalmente un subgrupo de $\mathrm{Ext}^1_{\mathbb Z[\mathbb k^\times]}(\mathbb F_p, \mathbb k_n)$ que es un subgrupo de $H^1(\mathbb k^\times, \mathbb k_n):=\mathrm{Ext}^1_{\mathbb Z[\mathbb k^\times]}(\mathbb Z, \mathbb k_n)$ (considerando la corta secuencia exacta $0\rightarrow \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z \rightarrow \mathbb F_p \rightarrow 0$ y utilizando el hecho de que $\mathbb k^{\mathbb k^\times}_n=0)$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $H^1(\mathbb k^\times, \mathbb k_n)=0$ . Si $\mathbb k=\mathbb F_q$ tenemos $\mathbb F_q^\times\simeq \mathbb Z/(q-1)\mathbb Z$ y $H^1(\mathbb k^\times, \mathbb k_n)=H^1(\mathbb Z/(q-1)\mathbb Z, \mathbb k_n)=0$ como debe ser matado por $p$ y $q-1$ simultáneamente. Si $\mathbb k =\overline{\mathbb F_p}$ entonces cualquier elemento es una raíz de la unidad de grado no divisible por $p$ y es fácil ver que $\mathbb k^\times=\mathrm{colim}_{p\nmid m} \mathbb Z/m \mathbb Z = \mathbb Z_{(p)}/\mathbb Z$ . Para cada $n$ tenemos $ \mathbb k_n^{\mathbb Z/m \mathbb Z}=0$ De ello se deduce que $H^1(\mathbb k^\times,\mathbb k_n)=H^1(\mathrm{colim}_{p\nmid m} \mathbb Z/m \mathbb Z ,\mathbb k_n)=\lim_{p\nmid m}H^1(\mathbb Z/m \mathbb Z ,\mathbb k_n)=0$ por el mismo argumento, como $(m,p)=1$ para todos $m$ en el límite.

Ahora bien, en la situación general si $\mathbb k$ es algebraicamente cerrado tenemos $(\mathbb k^\times)_{\mathrm{tors}}=\overline{\mathbb F_p}^\times=\mathbb Z_{(p)}/\mathbb Z$ Además, el cociente $\mathbb k^\times/(\mathbb k^\times)_{\mathrm{tors}}$ es un grupo abeliano divisible y libre de torsión, por lo que es isomorfo a algún espacio vectorial $V_{\mathbb Q}$ en $\mathbb Q$ (como grupo abeliano). Además $\mathrm{Ext}_{\mathbb Z}^1(V_{\mathbb Q},\mathbb Z_{(p)}/\mathbb Z)=0$ Así que $\mathbb k^\times=\mathbb Z_{(p)}/\mathbb Z\times V_{\mathbb Q}$ . Así que de Kunneth sería suficiente saber que $H^1(V_{\mathbb Q}, \mathbb k_n)=0$ . Parece que esto debería ser cierto para cualquier $p$ -módulo de torsión en general. Entonces, ¿alguien sabe por casualidad si es cierto que $H^1(\mathbb Q, M)$ para $\mathbb F_p[\mathbb Q]$ -Módulo $M$ ?