Espacios de Hausdorff con grupo de automorfismo trivial

Question

¿Es el espacio singleton el único espacio Hausdorff $X$ tal que el conjunto de automorfismos $\varphi: X\to X$ es igual a $\{\textrm{id}_X\}$ ?

Answer 1

En absoluto. Esos espacios se llaman rígido y hay muchos ejemplos en la literatura. La noción opuesta es homogeneidad que es una propiedad mejor estudiada. El primer espacio rígido (no trivial) fue construido por Kuratowski en " Sobre la potencia del conjunto de números dimensionales en el sentido de M Frechet " (Fund.Math 8, 1926, 201-208). También recomiendo " Descomposiciones de espacios rígidos " de van Engelen y van Mill (PAMS 89, 1983, 533-536), donde dan dos bonitos ejemplos: un espacio rígido que puede descomponerse en dos subespacios homogéneos homeomórficos y un espacio homogéneo que puede descomponerse en dos subespacios rígidos homeomórficos. Por cierto, estos dos ejemplos son incluso separables y metrizables.

Answer 2

Es fácil (aunque un poco tedioso, sólo un poco) construir un dendroide métrico no trivial (como un árbol infinito o precisamente--un AR métrico compacto unidimensional) tal que

• el grado de ramificación de cada punto es finito;
• para cada número natural $\ n=1\ 2\ \ldots\ $ existe exactamente un punto que tiene ramificación $\ n+2$ ;
• el conjunto de todos los puntos de ramificación $\ > 2\ $ es denso.

Entonces para cada homeomorfismo de nuestro dendroide sobre sí mismo cada punto que tiene ramificación $\ > 2\ $ está arreglado. Se deduce que cada homeomorfismo es la identidad de nuestro dendroide.

Una construcción se obtiene comenzando con un intervalo--esa es su etapa inicial de la inducción, luego en cada etapa agregue varios intervalos cortos que tengan un extremo en el centro de cada intervalo existente; en el centro de $n$ -ésimo intervalo que añada $\ n\ $ intervalo para que la ramificación sea la única $\ n+2.\ $ Lo repites hasta el infinito. A continuación, se termina el punto final en cada rama combinatoriamente infinita (pero su longitud geodésica métrica es finita), por lo que obtenemos un compacto.

OBSERVACIÓN Por intervalo de un árbol se entiende cualquier intervalo máximo tal que todos sus puntos internos tengan ramificación $\ 2.\ $ Cada intervalo de un árbol en cualquier etapa siguiente, que estaba contenido teóricamente en el árbol anterior, es una de las dos mitades del respectivo intervalo mayor de ese árbol anterior. Independientemente de la fase en la que se encuentren estos intervalos, todos ellos están numerados como $\ 1\ 2\ \ldots$ . Con cada etapa hay un montón de intervalos que se indexan consecutivamente por encima del árbol anterior y por debajo del siguiente.

(La no trivialidad de un dendroide significa, por definición, que tiene más de un punto).

El dendroide anterior (como cualquier dendroide no trivial) tiene mapas continuos no constantes hacia sí mismo, distintos de la identidad. De hecho, esto es cierto para AR arbitraria que tiene más de un punto. Así, el ejemplo dado, aunque rígido, no es fuertemente rígido.