Citando el libro de Huybrecht Geometría compleja en el $\partial\overline{\partial}$ -para las variedades de Kaehler:
Aunque parece una afirmación técnica bastante inocente, es crucial para muchos resultados.
Más adelante en el libro el resultado se utiliza en el estudio de la formalidad de las variedades de Kaehler, pero ¿qué otras aplicaciones importantes tiene?
Esta es una lista de longitud uno :)
El $\partial \bar \partial$ -Lemma permite una parametrización de la clase de cohomología $[\omega]$ de una colecta compacta de Kaehler $(M, \omega)$ mediante funciones escalares, es decir $$ [\omega] = \{ \omega + i \partial \bar \partial u: u \in C^\infty(M) \} $$
Lo primero que se me ocurre es que permite reducir la ecuación tensorial a ecuaciones escalares.
Un ejemplo de ello es el teorema de Calabi-Yau:
En una variedad compacta de Kaehler $(M, \omega)$ para cada uno de los casos cerrados $(1,1)$ formulario $\rho \in 2 \pi c_1(M)$ existe una única métrica de Kaehler $\omega' \in [\omega]$ tal que su forma de Ricci es igual a $\rho$ .
Para obtener una EDP escalar, basta con utilizar el Ansatz de que una solución debe ser de la forma $\omega + i \partial \bar \partial u$ para un poco de suavidad $u$ pero el $\partial \bar \partial$ -El lema se utiliza para demostrar la singularidad de la solución en la clase de cohomología . Es decir, dos soluciones deben diferir por el $\partial \bar \partial$ de una función.
Para ello puedo remitirte al libro de Moroianu (capítulo de Calabi-Yau) o al bueno de Besse.
Hay una versión más sencilla de lo que ha escrito David.
Reclamación. Dada una forma (1,1) $\alpha$ que representa la primera clase de Chern de un haz de líneas holomórficas $[\alpha]=c_1(L)$ se puede encontrar una métrica $h$ en $L$ tal que su curvatura es $$ \Theta(L,h)=\frac{i}{2\pi}\alpha. $$
En efecto, dejemos que $h_0$ sea un fondo métrico arbitrario sobre $L$ y $h=e^\phi h_0$ es la métrica que buscamos. Entonces $$\frac{i}{2\pi}\alpha=\Theta(L,h)=\Theta(L,h_0)+\partial\bar\partial\phi.$$
La existencia de tales $\phi$ se desprende inmediatamente de $\partial\bar\partial$ -lemma, aplicado a $d$ -forma exacta (1,1) $\frac{i}{2\pi}\alpha-\Theta(L,h_0)$ .
Observación. Esto no es cierto en el caso no-Kaehler, por ejemplo en la superficie de Hopf $M$ paquete canónico $K_M$ es topológicamente trivial, mientras que no admite una métrica plana.
La afirmación tiene una consecuencia importante: el haz de líneas $L$ es positivo si y sólo si su primera clase de Chern tiene un valor positivo $(1,1)$ representativa.
Ver también https://mathoverflow.net/q/241687 donde se discute esencialmente la misma reclamación.
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