tiempo de auto-evitación del paseo aleatorio

Question

¿Cuántos pasos de media da un simple paseo aleatorio en el plano antes de visitar un vértice que ya ha visitado antes?

Si no existe una fórmula exacta (como parece probable), me interesan las buenas aproximaciones.

También me gustaría conocer la nomenclatura estándar asociada a la pregunta, si es que existe.

Answer 1

[He corregido un estúpido error a continuación y he añadido un límite superior... Por favor, compruebe los valores numéricos].

Dudo que exista una expresión explícita. Sin embargo, debería ser posible obtener buenos límites. El límite inferior es fácil: observe que $$ E(T) = \sum_{k\geq 1} P(T> k-1) = 1+\sum_{k\geq 1} c_k 4^{-k}, $$ donde $c_k$ es el número de trayectorias de auto-evitación de longitud $k$ (y, por supuesto, $4^k$ es el número de todos los caminos de longitud $k$ ), por lo que obtenemos un límite inferior truncando esta serie. Utilizando los valores (conocidos) de $c_k$ , $k=1,\ldots,71$ obtenemos $$ E(T) > 4.58607909 $$ Ahora, se puede obtener un límite superior acotando la parte despreciada de la serie mediante $c_k\leq 4 \cdot 3^{k-1}$ . Esto nos da un intervalo muy estrecho que contiene el valor correcto: si no me he equivocado ;) , obtenemos $$ 4.58607909 < E(T) < 4.58607911 $$

Answer 2

Una versión anterior de esta respuesta era ridícula; en los comentarios, David Speyer hizo lo que yo intentaba hacer, y he ajustado esto en consecuencia.

Un límite superior fácil: el número esperado de pasos hasta visitar la posición que acaba de dejar es $1 + \sum_{n \geq 0} \left(\frac{3}{4}\right)^n = 5$ . Creo que un enfoque modestamente más sofisticado (por ejemplo, llevar la cuenta de los últimos pasos para saber si estamos rodeando los cuatro lados de un cuadrado, por ejemplo) puede mejorar esto ligeramente, pero no estoy seguro de que merezca la pena el esfuerzo.