Tomemos 3 formas cuadráticas sobre $\mathbb{P}^2$ sin cero común; definen un mapa $\pi : \mathbb{P}^2\rightarrow \mathbb{P}^2$ de grado 4. No es difícil ver que $\pi _*\mathscr{O}_{\mathbb{P}^2}\cong \mathscr{O}_{\mathbb{P}^2}\oplus \mathscr{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)^3$ . ¿Alguien sabe cómo escribir la estructura de álgebra de $\pi _*\mathscr{O}_{\mathbb{P}^2}$ en términos de esta descomposición?
Respuestas
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Mike Fielden
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He aquí una respuesta parcial para un caso particular. Sospecho que probablemente ya lo sabías. (Así que en realidad es un comentario, pero es demasiado largo para la caja de comentarios).
Si los polinomios son $x_0^2, x_1^2, x_2^2$ y la característica no es 2, entonces en coordenadas afines la cubierta $\pi$ es $y_1=x_1^2, y_2=x_2^2$ . Así que es Galois, con grupo Galois $G=(\mathbb{Z}/2)^2$ . A continuación, puede romper $\pi_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}$ utilizando 4 caracteres de $G$ que etiquetaré como $1, \sigma_1,\sigma_2,\sigma_1\sigma_2$ . Las 3 últimas corresponden a las involuciones $(x_1\mapsto -x_1)$ , $( x_2\mapsto -x_2)$ y, supongo que $(x_0\mapsto -x_0)$ . La parte invariante de $\pi_*\mathcal{O}$ es sólo $\mathcal{O}$ y los restantes factores isotípicos son isomorfos a $\mathcal{O}(-1)$ . Bajo la identificación $$\Gamma((\pi_*\mathcal{O})(1))\cong \Gamma(\mathcal{O}(2))$$ procedentes de la fórmula de proyección, las secciones procedentes de la $\mathcal{O}(-1)$ Los factores corresponden a $x_1^2,x_2^2, x_0^2$ (modulando la conjetura anterior). Permítanme etiquetar los factores de la siguiente manera $1,2,0$ . Es de suponer que quieres la tabla de multiplicar. Supongo que, por ejemplo, $$\mathcal{O}(-1)_{i}\otimes \mathcal{O}(-1)_{i}\to \mathcal{O}$$ es $$\mathcal{O}(-1)_{i}\otimes \mathcal{O}(-1)_{i}\cong \mathcal{O}(-2)\stackrel{x_i^2}{\to} \mathcal{O}$$ Etc.
dmnc
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En general, si $f \colon X \to Y$ es una cubierta cuádruple de variedades algebraicas, la estructura del álgebra $f_* \mathcal{O}_X$ se estudia en el documento
D. Hahn, R. Miranda: Quadruple Covers in Algebraic Geometry, Revista de Geometría Algebraica 8 (1999).
Puede descargar el documento en la página web página web del segundo autor.
