Una línea es infinita, ¿verdad? Bueno, si $-\infty = \infty$, una línea es un círculo infinitamente grande. (¿Tiene esto algo que ver con $1/0$?)
Me parece mal, ¿no? Podría refutarla? ¿Cómo habría estado más legítimo?
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- Un círculo con un radio infinito es una línea (5 respuestas )
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La mayoría de la gente va sobre esto a partir de una geometría proyectiva perspectiva. Voy a abordar esto desde un diferencial geometría punto de vista, ya que creo que puedo dar una comprensión más intuitiva desde este punto de vista. Lamentablemente yo no puedo hablar de $-\infty = \infty$ desde este punto de vista, sin tener que lidiar con la proyección estereográfica o projectivization, pero no creo que esta es la carne de la comprensión de todos modos.
Para una curva suave (es decir, no hay curvas cerradas) en el plano existe la noción de su curvatura; es una cantidad numérica definida en cada punto a lo largo de la curva que, a falta de una mejor expresión, se describe cómo se curva la curva en ese punto. Si usted se imagina a sí mismo como en una bicicleta que viaja a lo largo de la curva de a $10$ mph, a continuación, en donde la curvatura es muy alta que está girando muy rápido. Donde la curvatura es pequeña no está girando muy rápido, y donde la curvatura es cero, no volviéndose a todos.
A partir de esta descripción intuitiva, se puede adivinar fácilmente que una línea recta tiene curvatura $0$ en todas partes, y de hecho esto caracteriza de forma exclusiva líneas rectas. También puede mostrar, si se hace el correcto definiciones precisas, que un círculo de radio $R$ tiene curvatura constante $1/R$, y esto caracteriza de forma exclusiva círculos así. Si sabes de algún física, esto está estrechamente relacionado con el hecho de que el movimiento circular uniforme es el resultado de una aceleración constante hacia un centro. Básicamente, sólo hay dos tipos de curvas de curvatura constante: las líneas (curvatura cero) y círculos (distinto de cero de la curvatura).
La declaración de que una línea es un círculo infinitamente grande entonces puede ser formulada en términos de la curvatura. Para cada una de las $R>0$ deje $C_R$ ser un círculo de radio $R$; a continuación, tiene la curvatura $1/R$. A continuación, en el límite de $R\to\infty$, la curvatura va a $0$. En cierto sentido, en "$R=\infty$" terminamos con una curvatura "$1/\infty = 0$," una línea recta. La forma en que se interpreta de manera más formal es que como $R\to\infty$, pequeños segmentos de círculo $C_R$ ser mejores y mejores aproximaciones a líneas rectas. Armados con esta interpretación, podemos modificar las anteriores en negrita declaración: sólo hay un tipo de curva de curvatura constante: círculos, incluyendo el infinito (líneas).
Addendum: Esta es sólo una forma de ver la declaración de que las líneas son "infinitos círculos." Otra forma común de pensar sobre esto es en el contexto de la geometría proyectiva, donde las líneas se puede "convertirse en círculo" por "encerrarlos" mediante la adición de "puntos en el infinito." También, usted puede pensar acerca de ellos en el contexto de la inversión de la geometría (geometría del mapa $z\mapsto 1/\overline{z}$ en el plano complejo) y, más generalmente, de las transformaciones de Möbius, que en general tienden a mapa de líneas y círculos a otras líneas y círculos; si uno hace la convención de que una línea es un infinito círculo, luego de las transformaciones de Möbius se puede decir que el mapa de los círculos los círculos, lo que hace que su descripción un poco más prolijo.
