¿Es todo subespacio codimensional finito de un espacio de Banach cerrado? ¿Es también complementado? Sé cómo responder a las mismas preguntas para subespacios de dimensión finita, pero no he podido averiguar el caso de codimensión finita.
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rams
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Otro contraejemplo: Tome $C[-1,1]$ como el espacio de Banach. Definir $ T(f)=\int_{0}^{1} f - \int_{-1}^{0} f $ . Claramente $T$ es un funcional lineal (continuo) cuyo núcleo es un subespacio unidimensional (cerrado). Pero no hay subespacio complementario: de hecho, el subespacio complementario debería ser generado moralmente por la función que es idéntica $1$ en $[0,1]$ et $-1$ en $[-1,0]$ pero esta función no es continua.
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Voir mathoverflow.net/questions/28415 en particular la respuesta de Nate.
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Este es un ejercicio divertido: toma $E$ sea un espacio de Banach y que $H$ sea un subespacio de codimensión uno. Demostrar que $H$ es denso en $E$ si y sólo si $E \setminus H$ está conectada por arcos.
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Buen ejercicio, Laurent. Me avergüenza aprender algo sobre los espacios de Banach de un teórico de los números. :)
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Esto está en la FA de Rudin, capítulo 2 o 3, ¿no es así?
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En el caso de que el espacio sea de Hilbert, ¿es un subespacio codimensional finito cerrado?
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@Ayoub Por supuesto que no; basta con tomar el núcleo de cualquier funcional lineal discontinuo como contraejemplo. (En el futuro, por favor, no utilices los cuadros de respuesta para hacer preguntas. Lo convierto en un comentario bajo la pregunta).