Subespacios de codimensión finita en espacios de Banach

Question

¿Es todo subespacio codimensional finito de un espacio de Banach cerrado? ¿Es también complementado? Sé cómo responder a las mismas preguntas para subespacios de dimensión finita, pero no he podido averiguar el caso de codimensión finita.

Answer 1

Es un resultado estándar que un funcional lineal de un espacio de Banach al campo subyacente (números reales o complejos) es continuo si y sólo si su núcleo es cerrado. Nótese que su núcleo es de codimensión uno. Por lo tanto, utilice el axioma de elección para encontrar un funcional lineal discontinuo, y habrá encontrado un subespacio de codimensión uno que no es cerrado. (Mientras escribía esto, rpotrie obtuvo la misma respuesta...)

En cuanto a la complementación: bueno, esto sólo tiene sentido para cerrado subespacios de codimensión finita. Pero entonces es una pregunta perfectamente razonable, y la respuesta es "sí". Si F es de codimensión finita en E, entonces por definición podemos encontrar una base $\{x_1,\cdots,x_n\}$ para E/F. Para cada $k$ dejar $x_k^*$ sea la función lineal sobre $E/F$ doble a $x_k$ Así que $x_k^*(x_j) = \delta_{jk}$ . Entonces dejemos que $\mu_k$ sea la composición de $E \rightarrow E/F$ con $x_k^*$ . Por último, elija $y_k\in E$ con $y_k+F=x_k$ . Entonces el mapa $$T:E\rightarrow E; x\mapsto \sum_k \mu_k(x) y_k$$ es una proyección de $E$ en el tramo de la $y_k$ y $I-T$ será una proyección sobre $F$ (a no ser que haya metido la pata en algo, que es posible).

Answer 2

No: Si se considera un funcional no continuo de un espacio de Banach, su núcleo es unidimensional y denso.

Por ejemplo $l^2(\mathbb{Z})$ y considerar la secuencia $e_i$ ( $(0,..., 1, 0....)$ donde el $1$ está en el $i$ -posición). Completar esto hasta una base (que existe por el lema de Zorn, y es incontable ya que $l^2$ es un espacio banal) y considerar el subespacio generado por el $e_i$ junto con los elementos de la base, excepto uno de ellos. Esto da un subespacio denso de codimensión uno.

Answer 3

Como ya se ha recordado, un núcleo de cualquier forma lineal no continua es un hiperplano denso, y las formas no continuas existen en dimensión infinita como consecuencia de la existencia de la base de Hamel. Dicho esto, vale la pena recordar un hecho relevante en sentido afirmativo, que es un corolario del teorema del mapa abierto:

Un subespacio subespacio en un espacio de Banach, de codimensión finita, y que es la imagen de un espacio de Banach a través de un operador lineal acotado, es cerrado.

Por cierto, la propiedad de ser complementado tiene también una caracterización particular para aquellos subespacios que son imágenes de operadores: la imagen de $R:X\to Y$ se complementa si y sólo si $R$ es un inverso de la derecha, lo que significa que hay un operador acotado $L:Y\to X$ tal que $LR=I$ . Un proyector lineal sobre el subespacio es entonces $RL$ .

Answer 4

Esto está muy relacionado con la construcción de rpotries: tomar un subespacio denso y propio y elegir una base $(v_i)$ de ese subespacio. Ahora podemos adosar $(w_j)$ tal que $(v_i) \cup (w_j)$ es una base de todo el espacio. Ahora el espacio de todos los $v_i,w_j$ pero finalmente muchos $w_j$ es un subespacio denso de codimensión finita. Por lo tanto, no puede ser cerrado.

Answer 5

Es equi a Choice axiom. Si no te gusta el axioma entonces todo funcional lineal es continua. Si no, entonces el teorema de Hahn-Banach es verdadero.

Depende de ti.

Oleg Reinov