Existencia de polinomios de grado $\geq 2$ que representan infinitos números primos

Question

Hasta donde yo sé, está abierto hasta ahora si el polinomio $x^2+1 \in \mathbb{Z}[x]$ toma infinitos números primos como valores. ¿Se sabe hasta ahora si hay en absoluto cualquier polinomio $P \in \mathbb{Z}[x]$ de grado $\geq 2$ que toma infinitos valores primos? -- Obsérvese que para obtener este resultado no es necesario demostrar que cualquier particular polinomio tiene esta propiedad.

Answer 1

Hasta donde yo sé, se desconoce si algún polinomio irreducible de grado mayor que uno asume infinitos valores primos. Ciertamente, este es el caso si se insiste en que el polinomio sea dado explícitamente. Sólo añado que lo que se conjetura es que si un polinomio irreducible $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ satisface $1=\mathrm{gcd}\{f(1), f(2), f(3), f(4), \dots\}$ entonces $f(n)$ es primo para infinitos $n$ . Esto se conoce como La conjetura de Bunyakovsky . No se ha demostrado para ningún polinomio de grado mayor que $1$ . Las generalizaciones incluyen La hipótesis de Schinzel H y el Conjetura de Bateman-Horn .

Answer 2

Los comentarios y la respuesta están relacionados con la conjetura de Bunyakovsky, probablemente desesperada. Me parece que Stefan Kohl tenía en mente una idea diferente, quizá algo como lo siguiente: Dejemos que $A_p$ sea el conjunto de polinomios $f\in\mathbb Z[X]$ de grado $\ge2$ con $p\in f(\mathbb Z)$ . La pregunta equivale a preguntar si existe un conjunto infinito $P$ de primos tales que $\cap_{p\in P}A_p$ no está vacío.

Así que en esta forma la pregunta es si algún argumento de densidad (con respecto a alguna medida sobre $\mathbb Z[X]$ ) podría ser lo suficientemente fuerte.