Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios de Hausdorff localmente compactos, y $f:X\to Y$ sea un homeomorfismo local suryente. Cuando es $f$ ¿un mapa de cobertura?
Es bien sabido que cuando $f$ es apropiado, $f$ es un mapa de cobertura. Sin embargo, creo que la propiedad es demasiado fuerte porque hay muchos ejemplos de mapas de cobertura no adecuados (por ejemplo, la cobertura universal de un espacio cuyo grupo fundamental no es finito no es adecuada).
¿Hay alguna otra condición?
Esta respuesta adopta un punto de vista más general que el de Alexandre. La generalidad responde al reducido número de supuestos de los espacios implicados.
En primer lugar, debe asumir que $Y$ está localmente conectada por una ruta. Sólo en ocasiones especiales se puede obtener algo bueno de la observación de coberturas de espacios no conectados localmente.
Los mapas de cobertura están muy estructurados, por lo que la promoción de un homeomorfismo local (incluso con el supuesto de compacidad local) a un mapa de cobertura requiere condiciones fuertes. Incluso si $f$ tiene la siguiente propiedad de elevación (bastante fuerte), $f$ no es siempre un mapa de cobertura: Para cada mapa $g:W\to Y$ a partir de un espacio localmente conectado por trayectorias $W$ tal que $g_{\ast}(\pi_1(W,w))\subseteq f_{\ast}(\pi_1(X,x))$ hay un único ascensor $\tilde{g}:W\to X$ , $\tilde{g}(w)=x$ tal que $f\tilde{g}=g$ .
Estas son las condiciones (necesarias) que debe tener para $f:X\to Y$ para ser un mapa de cobertura.
1) $f$ tiene elevación de la trayectoria única (de manera equivalente, si $P(X,x)$ es el conjunto de caminos en $X$ a partir de $x$ entonces la función inducida $Pf:P(X,x)\to P(Y,p(y))$ es una biyección para cada $x\in X$ .
2) $f$ tiene un levantamiento único de homotopías de caminos (esto no se deduce de 1. y se puede formular de la misma manera que una biyección sobre espacios de caminos)
Las propiedades 1) y 2) aún no son suficientes para promover $f$ para ser un mapa de cobertura. Es necesario reforzar el levantamiento de caminos únicos.
3) $f$ tiene continuo levantamiento de trayectoria única si $P(X,x)$ tiene la topología compacta-abierta y el mapa inducido $Pf:P(X,x)\to P(Y,p(y))$ es un homeomorfismo para cada $x\in X$ .
Un homeomorfismo local sobreyectivo con 2) y 3) y $Y$ La trayectoria localmente conectada tiene ahora la propiedad general de elevación mencionada anteriormente, pero esto todavía no es suficiente. Un mapa así es un semicobertor (sinvergüenza, pero es de libre acceso, así que está bien, ¿no?): Semicoberturas: una generalización de la teoría de los espacios de cobertura , Homología, Homotopía y Appl. 14 (2012) pp.33-63 ). Hay semicoberturas del arete hawaiano -que es localmente compacto- que no son coberturas (ejemplo 3.8 en ese trabajo). Por otro lado, un mapa de cobertura siempre tiene las propiedades 2) y 3).
Esto sugiere que al final tendrá que asumir $Y$ es semilocalizado simplemente conectado.
Si tiene $Y$ localmente conectada, semilocalmente conectada y $f$ tiene las propiedades 2) y 3), entonces $f$ es un mapa de cobertura. Con estas nuevas suposiciones sobre $Y$ sospecho que se puede debilitar 3) a 1).
En el caso de las superficies, la condición necesaria y suficiente es la ausencia de valores asintóticos. Una curva en $\gamma:[0,1)\to X$ se llama curva asintótica si el límite $\gamma(t)$ como $t\to\infty$ es $\infty$ (el punto infinito de la compactación de un punto de $X$ ), pero $f(\gamma(t))$ tiene un límite en $Y$ como $t\to 1$ . Este límite se llama valor asintótico. Un recubrimiento es un homeomorfismo local que no tiene valores asintóticos. Las únicas referencias que conozco de esto son para superficies, pero no debería ser difícil de demostrar en general bajo condiciones apropiadas. Probablemente $X$ y $Y$ tienen que estar conectados localmente, además de lo que has dicho sobre ellos.
EDITAR. Aquí hay una prueba. Suponemos que $Y$ está conectado, y que cada punto $y\in Y$ tiene una base de vecindades simplemente conectada. Sea $f:X\to Y$ sea un homeomorfismo local.
Una trayectoria en un espacio es un mapa continuo desde $[a,b]$ o de $[a,b)$ a este espacio.
Decimos que el camino comienza en $\gamma(a)$ . Dejemos que $\gamma:[a,b]\to Y$ sea un camino. Una elevación de $\gamma$ es un camino $\Gamma:[a,b]\to X$ tal que $\gamma=f\circ\Gamma$ .
Si $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son dos levantamientos del mismo camino, y $\Gamma_1(a)=\Gamma_2(a)$ entonces $\Gamma_1=\Gamma_2$ . (Esto se debe a que $f$ es un homeomorfismo local).
Dejemos que $x_0\in X$ sea un punto arbitrario y $y_0=f(x_0)$ . Asumiendo que $f$ es un homeomorfismo local sin valores asintóticos, demostramos que todo camino que comienza en $y_0$ tiene un comienzo de elevación en $x_0$ . Dejemos que $\gamma$ sea un camino parametrizado por $[a,b]$ , a partir de $y_0$ . Sea $$c=\sup\{ p>0:\gamma\vert_{[a,p]}\;\mbox{has a lifting beginning at}\; x_0\}.$$ Como $f$ es un homeomorfismo local, concluimos que $c>a$ . Si $c=b$ la afirmación queda demostrada. Por lo tanto, supongamos que $c\in(a,b)$ . Entonces, debido a la unicidad del levantamiento un camino semiabierto $\gamma\vert_{[a,c)}$ tiene una elevación $\Gamma$ .
Afirmo que $\Gamma(t)\to\infty$ como $t\to c$ . En efecto, dejemos que $x_1\in X$ sea un punto límite de este camino. Sea $U$ sea una vecindad de $x_1$ donde $f$ es un homeomorfismo. Entonces $V=f(U)$ es una vecindad de $\gamma(c)$ y podemos ampliar nuestro levantamiento poniendo $\Gamma(t)=\phi(\gamma(t))$ , para $t$ en un barrio de $c$ , donde $\phi$ es la inversa del homeomorfismo $f\vert_U$ . Esto extiende nuestra elevación ligeramente más allá de $c$ por lo que obtenemos una contradicción. Por lo tanto, $\Gamma(t)\to\infty$ como $t\to c$ . Entonces $\Gamma\vert_{[a,c)}$ es una curva asintótica y $\gamma(c)$ es un valor asintótico. De nuevo una contradicción.
Así, cada camino en $Y$ tiene un levantamiento único, y esto implica que $f$ es una cobertura.
Yo tenía las mismas preguntas cuando intenté aprender clustering jerárquico y encontré el siguiente pdf muy muy útil.
http://www.econ.upf.edu/~michael/stanford/maeb7.pdf
Incluso si Richard ya tiene claro el procedimiento, otros que hojeen la pregunta probablemente puedan utilizar el pdf, es muy sencillo y claro especialmente para aquellos que no tienen suficiente formación matemática.
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