Desigualdades en polinomios simétricos elementales

Question

Recientemente me encontré con el siguiente resultado.

Dejar $0 < d \leq n$. Dado cualquier vector$x \in \mathbb{R}^n$ que satisfaga$e_{d-1}(x) = 0$, demuestre que$$|x_1 \cdots x_d| \leq |e_d(x)|$$ where $ e_k$ is the $ k $ -ésimo polinomio simétrico elemental .

Creo que la desigualdad es estrecha exactamente cuando$x_{d+1} = \cdots = x_{n} = 0$. Creo que este resultado es cierto, pero tengo problemas para progresar. Se agradecería cualquier referencia.

Answer 1

Me parece falso y el contraejemplo es el segundo que se le viene a la cabeza: tres$1$ y un montón (digamos,$m$) de$-x$ donde$x$ es un pequeño número.

$e_2=3-3mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2=0$ significa que$x=y/m+o(1/m)$ donde$y$ es la raíz de$3-3y+y^2/2=0$, es decir,$y=3-\sqrt 3$.

Luego

$ e_3 = 1-3 mx + 3 \ frac {m (m-1)} {2} x ^ 2- \ frac {m (m-1) (m-2)} {6} x ^ 3 \\ \ aprox 1-3 años + 3 años ^ 2/2-y ^ 3/6 \ aproximadamente -0,73 $,

que es menor que$1\cdot 1\cdot 1=1$ en valor absoluto.