mostrar que $\int_0^1 (\sqrt[3]{1-x^7}-\sqrt[7]{1-x^3}) \, dx=0$

Question

mostrar que $$I=\int_0^1 (\sqrt[3]{1-x^7}-\sqrt[7]{1-x^3}) \, dx=0$$

Me parece que es Agradable equalition!

Yo: vamos a $$\sqrt[3]{1-x^7}=t\Longrightarrow x=\sqrt[7]{1-t^3}$$ así $$dx=-\dfrac{3}{7}t^2(1-t^3)^{-\dfrac{6}{7}} \, dt$$ así $$I=\frac{3}{7}\int_0^1 \frac{t^3}{\sqrt[7]{(1-t^3)^6}} \, dt-\int_0^1 \sqrt[7]{1-x^3} \, dx$$

Por partes,tenemos $$\int_0^1 \sqrt[7]{1-x^3} dx=\dfrac{3}{7}\int_0^1 \frac{x^3}{\sqrt[7]{(1-x^3)^6}} \, dt$$ así $$I=0$$

este problema tal vez tienen más bueno de otros métodos!Gracias

Answer 1

Ambas partes de la integral de expresar el área bajo la curva dada por $x^7+y^3=1$.

Answer 2

Se puede escribir de las dos partes de las integrales de la siguiente manera: $$ \int_0^1 \sqrt[3]{1-x^7} \, dx = \int_0^1 \int_0^\sqrt[3]{1-x^7} \, dy\,dx $$ y $$ \int_0^1 \sqrt[7]{1-y^3}) \, dy = \int_0^1 \int_0^\sqrt[7]{1-y^3} \, dx\,dy. $$ Ahora usted puede mostrar que las regiones de ambas integrales son los mismos. Es decir, los conjuntos de $\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq \sqrt[3]{1-x^7}\}$ $\{(x, y): 0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq \sqrt[7]{1-y^3}\}$ son los mismos.

Answer 3

La antiderivada de $(1-x^a)^{1/b}$, al menos para valores enteros de a$a$$b$, está dada por $x{\rm Hypergeometric2F1}[1/a, -(1/b), 1 + 1/a, x^a]$.
La integral de $(1-x^a)^{1/b}$ entre 0 y 1 es el dado por
$(\Gamma[1 + 1/a] \Gamma[1 + 1/b]) / \Gamma[1 + 1/a + 1/b]$
A continuación, las dos integrales son iguales y su comprobada la identidad.