Es bien sabido que para un topos C y un objeto x de C, la categoría de corte C/x es también un topos ("topos" aquí como "topos elemental"). Ahora existe el concepto más general de una categoría coma (F,G), con functores F:A->C, G:B->C. Creo que hay generalizaciones razonables del hecho anterior, pero no encuentro nada en la literatura. Así que mi pregunta: ¿Qué criterios se conocen para los funtores F, G, para que la categoría coma (F,G) sea un topos?
Respuesta
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El Encolado de Artin de un functor $G\colon B \to C$ es la categoría de la coma $(1_C \Downarrow G)$ (o en la notación de la pregunta, $(1_C, G)$ ). Si $B$ y $C$ son topos y $G$ preserva los pullbacks, entonces su encolado Artin también es un topos.
Lo aprendí de:
Aurelio Carboni, Peter Johnstone, Límites conectados, representabilidad familiar y pegado de Artin. Estructuras matemáticas en informática 5 (1995), 441-459. Corrección: Estructuras matemáticas en informática 14 (2004), 185-187.
Atribuyen el resultado a:
Gavin Wraith, Artin pegado. Revista de Álgebra Pura y Aplicada 4 (1974), 345-348.
Según Carboni y Johnstone, Wraith lo demostró bajo la hipótesis de que $G$ preserva todos los límites finitos, pero añaden que se observó muy poco después (por quién, no lo dicen) que es suficiente para suponer que $G$ preserva los retrocesos.
(Por cierto, no sé qué hace ahí esa "e" de más en "pegar". Mi diccionario dice que está mal).
La versión reforzada del resultado de Wraith incluye el famoso resultado sobre las rodajas, ya que si $B = 1$ entonces un functor preservador del pullback $B \to C$ es sólo un objeto $c$ de $C$ y su encolado Arting es entonces $C/c$ .
