¿Conserva la exponencial matricial la ordenación positiva-semidefinida?

Question

Supongamos que $A$ , $B$ son matrices simétricas de valor real y $B-A$ es semidefinida positiva, es decir $AB$ . ¿Implica eso $e^A e^B$ ? Me gustaría tener alguna intuición al respecto.

Sé, por ejemplo, que $AcI \iff e^A e^cI$ y también para la diagonal $A$ y $B$ la desigualdad es fácil de demostrar, pero no estoy convencido de que se traduzca en el caso general.

Answer 1

Para complementar el contraejemplo de Robert, permítanme mencionar a continuación algunos hechos interesantes sobre la exponencial matricial, junto con lo que puede considerarse la forma "correcta" de obtener desigualdades de operadores similares a la exponencial matricial.

Supongamos que $A \ge B$ (por orden de Löwner).

El mapa $X \mapsto X^r$ para $0 \le r \le 1$ es operador monótono es decir, $A^r \ge B^r$ . Este resultado se denomina Löwner-Heinz (al parecer fue descubierta originalmente por Löwner). Ahora usando \begin{equation*} \lim_{r\to 0} \frac{X^r-I}{r} = \log X, \end{equation*} podemos concluir la monotonicidad de $\log X$ de modo que $\log A \ge \log B$ .

Un rápido experimento revela que $A^2 \not\ge B^2$ en general (de hecho $X^r$ para $r > 1$ no es monótona), lo que disminuye gravemente las esperanzas de $e^X$ ser monótono.

Sin embargo, aunque $e^A \not\ge e^B$ T. Ando ( Sobre algunas desigualdades de operadores Matemáticas. Ann., 1987) demostró que \begin{equation*} e^{-tA} \# e^{tB} \le I,\qquad\forall t \ge 0. \end{equation*} Toma, $X \# Y := X^{1/2}(X^{-1/2}YX^{-1/2})^{1/2}X^{1/2}$ denota el media geométrica matricial (así que básicamente, las desigualdades de operadores van mejor con la noción "correcta" de una media geométrica)

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Observaciones adicionales

Aunque $A^2 \ge B^2$ no mantener, resulta que una versión ligeramente modificada $(BA^2B)^{1/2} \ge B^2$ se mantiene, al igual que $A^2 \ge (AB^2A)^{1/2}$ . Estas desigualdades son casos especiales de una familia de resultados de este tipo demostrados por T. Furuta, y se denominan Desigualdades de Furuta por ejemplo, tenemos \begin{equation*} (B^rA^sB^r)^{1/q} \ge (B^{s+2r})^{1/q},\quad 0 \le s \le 1, r \ge 0, q \ge 1. \end{equation*}

Answer 2

Por ejemplo, pruebe $$A = \pmatrix{1 & 0\cr 0 & 0\cr},\ B = A + t C\ \text{where}\ C = \pmatrix{1 & 1\cr 1 & 1\cr}$$ donde $t>0$ es pequeño. Entonces $A B$ pero $$ e^B - e^A = t \pmatrix{e & e-1 \cr e-1 & 1 \cr} + O(t^2)$$ para que $$ \det(e^B - e^A) = (e - (e-1)^2) t^2 + O(t^3) < 0$$