¿Cómo se llama esta matriz, y tiene un propósito?

Question

Me tropecé con la matriz de rotación 2d $$R( \theta )= \begin {pmatrix} \cos ( \theta ) & - \sin ( \theta ) \\ \sin ( \theta ) & \cos ( \theta ) \end {pmatrix}$$

que tiene el determinante 1 porque $$ \cos ^2( \theta ) + \sin ^2( \theta ) =1$$ Así que pensé qué pasaría si reemplazo las funciones trigonométricas por hiperbólicas, y cuando lo haces terminas con el determinante $$ \cosh ^2(t) + \sinh ^2(t) $$ pero eso tiende al infinito, así que en lugar de tener $$ - \sinh (t)$$ en la esquina superior derecha lo he sustituido por la versión positiva que nos da por determinante $$ \cosh ^2(t) - \sinh ^2(t)$$ que es agradablemente igual a 1, pero ¿cuál es el nombre y el propósito de esta matriz?

Answer 1

En primer lugar, estas matrices

$$\underbrace{\begin{pmatrix} \cosh(\alpha) & \sinh(\alpha)\\ \sinh(\alpha) & \cosh(\alpha) \end{pmatrix}}_{M_{\alpha}}$$

se denominan "rotaciones hiperbólicas"; tienen varias aplicaciones también en matemáticas y física.

Comparten una propiedad común (que es una "propiedad definitoria" : véase la observación 4 más abajo) : "preservan" el valor de la forma cuadrática $x^2-y^2$ (firma $(+,-)$ ). De forma explícita :

$$\underbrace{\begin{pmatrix} \cosh(\alpha) & \sinh(\alpha)\\ \sinh(\alpha) & \cosh(\alpha) \end{pmatrix}}_{M_{\alpha}}\begin{pmatrix} x_1\\y_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_2\\y_2 \end{pmatrix} \implies \ \ x_1^2-y_1^2=x_2^2-y_2^2\tag{1}$$

(en física, es la cantidad $x^2-c^2t^2$ que se conservará ; tomar la velocidad de la luz $c$ como la unidad si se quiere mantener la invariante anterior).

Pero ¿cuál es el significado "natural" (físico?) de $\alpha$ ? ¿Es un ángulo? ¿Y por qué "hiperbólico"?

(ver figura 1) Consideremos la rama derecha de la hipérbola equilátera $(H)$ con la ecuación $x^2-y^2=1$ El círculo unitario desempeña para esta trigonometría el mismo papel que la trigonometría ordinaria (circular...). De hecho, el significado intrínseco de $a$ es el área del "triángulo" $OA_1A_2$ con el lado $A_1A_2$ tomado no como una línea recta sino como un arco $A_1A_2$ en $(H)$ .

La fórmula es claramente

$$\text{doubled area} \ \ 2a \ \ = \ \ a_2-a_1\tag{2}$$

La prueba de (2) es fácil; de hecho, (1) puede escribirse :

$$\begin{pmatrix} \cosh(2a) & \sinh(2a)\\ \sinh(2a) & \cosh(2a) \end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix} \cosh(a_1)\\ \sinh(a_1)\end{pmatrix}}_{A_1}=\underbrace{\begin{pmatrix} \cosh(a_2)\\ \sinh(a_2) \end{pmatrix}}_{A_2}$$

que se puede escribir, utilizando las fórmulas de adición hiperbólica :

$$\begin{pmatrix} \cosh(2a+a_1)\\ \sinh(2a+a_1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cosh(a_2)\\ \sinh(a_2) \end{pmatrix}\tag{3}$$

Utilizando la bijetividad de $\sinh$ se puede deducir de (3) que $2a+a_1=a_2$ : hemos demostrado así (2).

Fig. 1 : Trigonometría hiperbólica con hipérbola equilátera (H).

Una comparación con la trigonometría habitual es esclarecedora. Observe la figura 2. Podríamos considerar la asociación del envío de la rotación $A_1$ a $A_2$ con el área del sector angular, en lugar de la longitud de arco $A_1A_2$ (recuerda que es la definición de la medida en radianes del "ángulo" $A_1OA_2$ ). Esta sería una buena alternativa a la medida en radianes (con una medida $\pi$ en lugar de $2 \pi$ para el giro completo (piense en las fórmulas $\pi R^2$ y $2 \pi R$ ). Es una consecuencia de la fórmula $a=\tfrac12 \alpha R^2$ ; ver aquí para el área de un sector circular y la medida $\alpha$ en radianes de su ángulo. ¡Como conclusión, tenemos la misma fórmula (2) que para el caso hiperbólico !

Fig. 2. : Trigonometría circular... con círculo unitario. El área del sector circular es la mitad de la medida $(a_2-a_1)$ en radianes de ángulo $A_1OA_2$ .

Consideremos ahora otra curva, la parábola. Es poco conocido que se puede construir una geometría muy sólida llamada geometría "equiaffine" o "centroaffine" ( una referencia ) donde la distancia entre los dos puntos $A_1$ y $A_2$ es ... la raíz cúbica del área del triángulo $A_1A_2B$ (fig. 3) obtenida con el punto $B$ definida como la intersección de las tangentes a la parábola en $A_1$ y $A_2$ . El hecho de que necesitemos una raíz cúbica no debería ser tan sorprendente porque aquí tratamos de hecho con "elementos de contacto" (véase la leyenda de la Fig. 3) que se caracterizan por 3 números reales (dos para la posición y uno para la dirección del ángulo).

Fig. 3 : Geometría equiafina : la distancia equiafina entre dos "elementos de contacto" (elemento de contacto = un punto y una dirección) puede definirse como la raíz cúbica del área (rosa) $\sqrt[3]{a}$ donde la parábola destacada es la única parábola con estos "elementos de contacto" (una conexión aquí ).

Observaciones :

1. Aquí está una presentación sencilla del aparato matemático de las rotaciones hiperbólicas y su interpretación física ( http://www.physicsinsights.org/hyperbolic_rotations.html )

2. Como puede verse en el artículo de la observación 1, la conexión entre la trigonometría circular y la hiperbólica puede entenderse mediante la "complejización" (= introducción de números complejos en la obra), debido a las fórmulas :

$$\cos(ia)=\cosh(a) \ \ \ \text{and} \ \ \ \sin(ia)=i\sinh(ia)$$

(ligeramente mal llamado "tomar un ángulo imaginario puro") con una bonita interpretación en 3D : véase por ejemplo este artículo .

3. No se pierda este informativo y bien escrito artículo .

4. La relación (1) es una propiedad definitoria con el siguiente significado. Matrices $M_{\alpha}$ son las únicas matrices $M$ con determinante unitario tal que :

$$MQM^T=Q \ \ \ \text{where} \ \ \ Q=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

5. Propiedades básicas de las matrices $M_{\alpha}$ y, en particular, el hecho de que forman un llamado "grupo de un parámetro" $O(1,1)$ proviene del hecho de que :

$$M_{\alpha}=\exp(\alpha J) \ \ \ \ \text{where} \ \ \ \ J=\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$$

(en perfecto paralelismo con el hecho de que una matriz de rotación con ángulo $\alpha$ es $R_{\alpha}=\exp(\alpha K)$ donde $K$ es la matriz $J$ en la que la entrada superior derecha se convierte en $-1$ ).

6. Se puede encontrar una interesante perspectiva histórica sobre el descubrimiento de la geometría centroafines por G. Tzitzeica allí .

Answer 2

Lo que has encontrado es un impulso de Lorentz. Informalmente son sólo rotaciones en el espaciotiempo de Minkowski así como la matriz que diste es la de una rotación en el espacio euclidiano.

La primera es una transformación ortogonal y deja inalterada la métrica euclidiana. La segunda deja inalterada la métrica de Minkowski.