Si dos variedades complejas proyectivas son homotópicas equivalentes, ¿son homeomorfas?
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En el caso de las curvas, esto se deduce de la clasificación de las superficies (topológicas bidimensionales), y en el caso de las superficies simplemente conectadas se deduce de Teorema de Freedman.
Mis antiguos colegas Anatoly Libgober y John Wood encontraron ejemplos de pares de 3 pliegues que son intersecciones completas y son homotópicamente equivalentes pero no difeomorfos, de hecho tienen clases de Pontryagin distintas. Véase Ejemplo 9.2 . Ya que en este caso $H^4(M;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ esto implica que las variedades no son homeomórficas por la invariancia topológica de las clases racionales de Pontryagin (véase el comentario de Ben Wieland).
Para el caso de mayor dimensión, véase:
Fang, Fuquan , Topología de las intersecciones completas , Comentario. Matemáticas. Helv. 72, nº 3, 466-480 (1997). ZBL0896.14028 .
David M
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EDIT: Uy, acabo de recordar que estás pidiendo que las variedades sean proyectivas, y éstas no lo son. Aún así, es un ejemplo para sólo colectores complejos.
El colector de Calabi-Eckman ( https://en.wikipedia.org/wiki/Calabi%E2%80%93Eckmann_manifold ) es el cociente de $\mathbb{C}^m \setminus 0 \times \mathbb{C}^n \setminus 0$ por la holomorfa $\mathbb{C}$ -acción $t(x,y) = (e^t x, e^{\alpha t}y)$ para un número fijo no real $\alpha$ . Este cociente es una variedad compleja difeomorfa a $S^{2m-1} \times S^{2n-1}$ . Es evidente que la acción habitual del espacio de Lens sobre cada uno de los factores conmuta con esta $\mathbb{C}$ -y así obtenemos una estructura compleja sobre productos de espacios Lens. Como se menciona en los comentarios, hay ejemplos de espacios Lens no difeomórficos homotópicos, así que esto debería servir de ejemplo. (Creo que los espacios Lens no son tan patológicos como para que puedan ser no-difeomorfos pero se conviertan en difeomorfos después de tomar un producto con, por ejemplo $S^1$ .)
Rohit Banga
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Editar: He interpretado mal la pregunta. El enunciado que sigue sólo explica que si un espacio proyectivo complejo homotópico distinto de $\mathbb{CP}^3$ soporta una estructura proyectiva compleja, entonces la respuesta sería no. Hasta donde yo sé, no se sabe si tales espacios soportan incluso una estructura simpléctica.
Llamemos espacio proyectivo complejo homotópico (HCP) a una variedad que es equivalente a un espacio proyectivo complejo. En dimensión 6 hay $\mathbb Z$ muchas variedades (hasta el difeomorfismo) con tipo de homotopía de $\mathbb{CP}^3$ . Se distinguen por su primera clase Pontryagin. En la dimensión $6$ tenemos que (bajo ciertas condiciones, que se cumplen para las HCPs) si una variedad topológica admite una estructura suave, entonces esta estructura es única. Por lo tanto, si dos HCPs fueran homeomórficas, serían difeomórficas, por lo que tendrían la misma primera clase de Pontryagin. Pero como he mencionado anteriormente hay $\mathbb Z$ muchos HCP con primeras clases de Pontryagin diferentes.
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Sólo una observación: Los ejemplos más sencillos de variedades homotópicas equivalentes y no homomórficas son los espacios lente. Como son cocientes de esferas de dimensión impar, no tendrán una estructura compleja.
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Idea para buscar posibles candidatos, siguiendo una idea de mi respuesta (errónea) borrada. ¿Existen dos superficies fibrosas de Kodaira no homeomorfas con grupo fundamental isomorfo?
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@FrancescoPolizzi: ¿No darían estas bestias un contraejemplo a la conjetura de Borel?
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@MarkGrant: Oh, cierto. Me había olvidado de la conjetura de Borel, gracias.
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@Henrik: una observación menor, pero es de suponer que te refieres a la homotopía equivalente, no a la homomórfica cerrado para los colectores abiertos; por supuesto, son posibles ejemplos mucho más sencillos.
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@QiaochuYuan las variedades proyectivas son cerradas creo (si no serían cuasi-proyectivas, ¿no?)
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Sí, por eso es una observación menor, no es relevante para la cuestión que nos ocupa.
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Creo que hay holomorfos $\mathbb {CP}^2$ paquetes sobre $\mathbb {CP}^3$ que son homotópicamente equivalentes pero tienen diferentes clases de Pontrjagin. Por lo tanto, se ve fácilmente que no son difeomorfos. Dado el difícil teorema de la invariabilidad topológica de las clases de Pontrjagin, en realidad no son homeomorfas.
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Las variedades de Hopf son variedades complejas que son difeomorfas a $S^1 \times S^{2n-1}$ . Tal vez existan cocientes finitos adecuados de las variedades de Hopf que sean h.e. espacios de Lens no homeomórficos cruzados $S^1$ .
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Me retracto de mi comentario anterior. Ahora creo que los lineales $\mathbb CP^n$ paquetes sobre $\mathbb CP^m$ son difeomorfos si son homotópicamente equivalentes. La cuestión era que se acercan a los ejemplos fáciles en la categoría suave. Si se toma el espacio total de un haz vectorial y se elimina la sección cero, es $\mathbb R$ sobre una variedad impar dim y muchas de estas variedades impar dim son equivalentes en homotopía pero no homeo (y siguen sin serlo después de cruzar con la línea). Pero cuando se toma el cociente por el círculo para obtener una variedad proyectiva, dejan de ser homotópicamente equivalentes.