distribución de los diagramas de Young

Question

Considere $\Lambda^p(C^n\otimes C^n)=\oplus_{\pi}S_{\pi}C^n\otimes S_{\pi'}C^n$ como a $GL_n\times GL_n$ -módulo. Este espacio tiene dimensión $\binom {n^2}p$ . Me gustaría información sobre las formas de los pares de diagramas de Young $(\pi,\pi')$ que dan la mayor contribución a la dimensión asintótica. Me interesa sobre todo el caso en el que $p$ está cerca $n^2/2$ . ¿Existe una función $f(n)$ de manera que las particiones con menos de $f(n)$ ¿los pasos contribuyen de forma insignificante? Si es así, ¿puede el más rápido crecimiento de tales $f$ ¿se puede determinar?

Answer 1

Para más detalles sobre esta respuesta, junto con dos pruebas del siguiente teorema, véase el preprint arXiv:1705.07604 ``Potencias externas de productos tensoriales como representaciones de grupos lineales generales'' por Greta Panova y por mí.

El siguiente resultado convierte la pregunta original en un problema sobre la teoría de la representación de los grupos simétricos para el que se dispone de más herramientas asintóticas.

Teorema. El componente irreducible aleatorio de la potencia externa \begin{equation} \label{eq:decomposition} \Lambda^p(\mathbb{C}^m\otimes \mathbb{C}^n)=\bigoplus_{\lambda}S^{\lambda}\mathbb{C}^m\otimes S^{\lambda'}\mathbb{C}^n \end{equation} considerado como un $\operatorname{GL}_m\times \operatorname{GL}_n$ -módulo corresponde a un par de diagramas de Young $(\lambda,\lambda')$ , donde $\lambda$ tiene la misma distribución que el diagrama de Young que consiste en las cajas con entradas $\leq p$ de una tabla de Young uniformemente aleatoria con forma rectangular $n^m$ con $m$ filas y $n$ columnas.

Alternativa: el diagrama de Young aleatorio $\lambda$ tiene la misma distribución que un diagrama de Young que corresponde a un componente irreducible aleatorio de la restricción $V^{n^m}\big\downarrow^{\mathfrak{S}_{mn}}_{\mathfrak{S}_{p}}$ de la representación irreducible $V^{n^m}$ del grupo simétrico $\mathfrak{S}_{mn}$ que corresponde al diagrama rectangular $n^m$ .

Más arriba, cuando hablamos de componente irreducible aleatorio de una representación nos referimos al siguiente concepto. Para una representación $V$ de un grupo $G$ consideramos su descomposición en componentes irreducibles $$ V = \bigoplus_{\zeta \in \widehat{G} } m_\zeta V^\zeta, $$ donde $m_\zeta\in\{0,1,\dots\}$ denota la multiplicidad de una representación irreducible $V^\zeta$ en $V$ . Esto define una medida de probabilidad $\mathbb{P}_V$ en el plató $\widehat{G}$ de representaciones irreducibles dadas por $$ \mathbb{P}_V(\zeta) := \frac{m_\zeta \operatorname{dim} V^{\zeta}}{\operatorname{dim} V}.$$

Como he mencionado, el teorema anterior convierte la pregunta original en un problema sobre las representaciones de los grupos simétricos para el que ya se dispone de varios resultados. En particular, la ley de los grandes números para los correspondientes diagramas de diagramas de Young ha sido demostrada en una generalidad mucho más amplia por Biane [ "Representaciones de grupos simétricos y probabilidad libre" , Adv. Math., 138(1):126--181, 1998, Teorema 1.5.1] utilizando el lenguaje de cumulantes libres de los diagramas de Young. La gaussianidad asintótica de sus fluctuaciones en torno a la forma límite se ha demostrado en [Piotr Sniady, "Fluctuaciones gaussianas de caracteres de grupos simétricos y de diagramas de Young" . Probab. Theory Related Fields 136 (2006), nº 2, 263-297, Ejemplo 7 combinado con el Teorema 8]. utilizando el mismo lenguaje.

En el caso concreto de la restricción $V^{n^m}\big\downarrow^{\mathfrak{S}_{mn}}_{\mathfrak{S}_{p}}$ , las herramientas genéricas mencionadas anteriormente pueden aplicarse en el escalado cuando $m,n,p\to\infty$ tienden al infinito de tal manera que la proporción del rectángulo $\frac{m}{n}$ converge a un límite estrictamente positivo y la fracción $\frac{p}{mn}$ converge a algún límite. [Boris Pittel y Dan Romik, "Formas límite para cuadros aleatorios de Young" , Adv. in Appl. Math. 38 (2007), nº 2, 164-209] han trabajado este ejemplo concreto y, entre otros resultados, han encontrado formas límite asintóticas explícitas de diagramas de Young típicos que contribuyen a tales representaciones.

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